Aspects of using computer programs in teaching higher mathematics at university

Full Text

В современном обществе информационные технологии всесторонне при- никают во все сферы общественной жизни, и образовательный процесс уже немыслим без разнообразной компьютерной поддержки. Возрастание объема информации с одновременным уменьшением времени на обучение требует повышения интенсивности занятий студентов. С этой целью используется компьютерная техника, позволяющая наглядно и быстро проводить вычисле- ния. Это и определяет актуальность внедрения современных компьютерных технологий в образовательный процесс. Современные методы преподавания предлагают использовать компью- терную технику на различных этапах обучения студентов. Компьютеры, ин- формационные технологии не только пронизывают все технические дисци- плины (точные науки) - они меняют и сами эти дисциплины, и методику их преподавания [1]. В частности, начиная с первых дней обучения студентов по дисциплине «Высшая математика» на лекционных занятиях используются возможности проектора и SMART-доски. Визуализация материала способ- ствует лучшей запоминаемости материала. Использование проектора позво- ляет преподавателю часть иллюстративного материала заготовить заранее. Сочетание SMART-доски и проектора позволяют студентам видеть последо- вательность рассуждения при выводе формул. В отличие от традиционной доски и мела, записи на экране SMART-доски сохраняются сколь угодно дол- го. Если на традиционной доске информацию приходится удалять, то при ис- пользовании компьютерных технологий появляется возможность возвра- щаться к написанному ранее без потери информации. Использование на лек- циях заготовленных заранее фрагментов позволяет более удобно и понятно для студентов структурировать материал, задавать фрагменты опорных кон- спектов и осуществлять обратную связь со студентами в виде кратких вопро- сов или тестовых заданий. Ряд практических занятий проходит в компьютерном классе при индиви- дуальной работе студентов за персональным компьютером. Такие занятия необходимы при изучении разделов, связанных с большим количеством вы- числений, например математической статистики. Компьютерные классы ис- пользуются также при выполнении студентами лабораторных работ по чис- ленным методам. Тем не менее остается часть практических занятий, на которых не ис- пользуется компьютерная техника, хотя применение современных техноло- гий способствует улучшению качества образования. Для более полного по- нимания сути математической модели или метода удобно использовать воз- можности компьютеров, которые минимизируют время на ручные вычисле- ния, позволяя сконцентрировать внимание на смысловой нагрузке задания. Современная индустрия предлагает широкий выбор программ, которые мож- но использовать для математических вычислений. Анализ существующих научных источников, посвященных возможно- стям применения отдельных пакетов для решения конкретных математиче- ских задач [2], показывает, что специализированные математические пакеты используются на выпускающих кафедрах для проведения инженерных расче- тов. Однако при обучении непосредственно высшей математике компьютер- ные средства применяются редко. В СамГТУ при изучении линейной алгебры студентами на практических занятиях наряду с традиционным бумажным расчетом все больше применя- ются компьютерные программы [3]. Применение информационных техноло- гий в процессе обучения позволяет повысить эффективность этого процесса, пробудить интерес к предмету, способствовать его лучшему пониманию и усвоению, стимулировать студентов к самостоятельному изучению дополнительного материала. Применение компьютерных технологий в процессе обучения формирует специалистов с высоким уровнем информационной культуры [4]. Из всего многообразия программных средств необходимо вы- делить для использования на компьютерных практикумах по математическим учебным дисциплинам следующие их группы: - математические пакеты (MatLab, MathCAD, Maple и др.); - статистические пакеты (Статистика 5.0, STADIA и др.). Вышеуказанные программы являются удобным инструментарием для решения различных прикладных задач. [5] Однако работать с матрицами можно не только в специализированных математических пакетах типа Ma- tematica, MatLab, MathCad, но и в привычных всем офисных электронных таблицах. Изучение раздела «Линейная алгебра» в СамГТУ традиционно приходит- ся на начало 1-го семестра. В это время бывшие абитуриенты еще только зна- комятся с университетом, правилами и особенностями расписания. Поэтому данное время не является удобным для изучения новых крупных математиче- ских пакетов. При изучении непосредственно раздела «Линейная алгебра» удобно пользоваться стандартными электронными таблицами. Приведем примеры расчета систем линейных алгебраических уравнений в офисных программах Excel (рис. 1) и OpenOffice.org Calc (рис. 2). Электронные таблицы получили широкое распространение, изучаются в большинстве школ, часто устанавливаются и на планшеты, и на современные телефоны, т. е. у сту- дентов есть доступ к ним. Студенты не испытывают затруднений при работе в электронных таблицах, находятся в комфортной психологической среде и могут целиком сосредоточится на новом материале по математике. Рис. 1. Пример решения в Excel Рис. 2. Пример решения в OpenOffice Для выполнения расчетов в этих программах студентам необходимо знать две функции: вычисление обратной матрицы и умножение матриц. В офис- ных программах Excel и OpenOffice.org Calc для этого используется встроен- ный редактор формул, который содержит различные категории функций. При выборе конкретной категории появляется список функций и описание выпол- няемых действий. Для вычисления обратной матрицы в Excel есть функция на русском языке, которая записывается как МОБР(). Если используются функции на английском языке, то функция для вычисления обратной матри- цы будет выглядеть так: MINVERSE(). И в том, и в другом случае в скобках задаются ссылки на ячейки с исходными данными. Для нахождения ответа необходимо произвести вычисление произведения обратной матрицы на столбец свободных членов. Это достигается в Excel с помощью встроенной функции МУМНОЖ(), в OpenOffice.org Calc для этого используется функция MMULT( ), которые также выбираются из предложенных списков. Поскольку рядом с выбранной функцией появляется описание ее действия, студентам необходимо хотя бы в общих чертах представлять себе ход решения задачи. При работе в электронных таблицах у студентов в любой момент времени есть возможность изменить выбранную функцию на другую, если это не про- тиворечит здравому смыслу и исходным данным. Среда специализированного пакета MathCad условно понимает окруже- ние написанных формул. Для вычисления в данном математическом пакете достаточно задать матрицы исходных данных и указать формулу для расчета (рис. 3). Пакет не требует специальной подготовки для выполнения простых вычислений и также может быть использован при изучении раздела «Линей- ная алгебра» на первом курсе. Основной минус при использовании данного математического пакета - необходимость выкупать лицензию. Рис. 3. Пример решения в MathCad Важной особенностью электронных таблиц и пакета MathCad является мгновенный пересчет всех формул и результатов вычислений при изменении исходных данных. Так, при изучении раздела «Линейная алгебра» удобно наглядно демонстрировать студентам, как от изменения на небольшую величину одной цифры в исходных данных изменяется значение определителей, решение системы линейных уравнений, как изменяет вид и положение график получив- шейся функции. Имея возможность многократно изменять исходные данные, студенты начинают лучше понимать взаимосвязь различных факторов. В современной инженерной деятельности широко применяются мощные компьютерные пакеты, специально предназначенные для математических вычислений, такие как Мathematica и MatLab. Системы компьютерной мате- матики (Maple, Mathematica и др.) используются в решении математических проблем во многих научных работах. Однако данные программы требуют навыков программирования от студентов и закупки лицензии от учебного за- ведения [6], поэтому могут предлагаться на самостоятельное изучение лишь наиболее заинтересованным студентам. Пример решения системы линейных уравнений в математическом пакете Мathematica [7]: Solve[{x^2-1=0, x^2-3x+2=0},x]. Ответом будет запись х→1. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений в математическом пакете MatLab [8]: В настоящее время все большую популярность набирает бесплатно рас- пространяемый математический Octave. Пример решения: Работа в нем схожа с работой в математическом пакете MatLab и также требует от студентов уверенных навыков алгоритмизации, опыта работы в языках программирования, умения чтения числовой информации. Количе- ство часов, выделяемых на преподавание высшей математики, не позволяет уделять время изучению требуемого материала по программированию, что сильно затрудняет использование данных математических пакетов всей учеб- ной группой студентов. При этом наиболее заинтересованные студенты, имея опыт программирования, могут достичь значительных результатов в изуче- нии высшей математики, используя возможности компьютерных технологий. К сожалению, в настоящее время далеко не во всех школах изучают про- граммирование, соответственно студенты первого курса не обладают этими навыками, что не позволяет использовать данные математические пакеты на занятиях по высшей математики на 1-м курсе. Однако эти математические пакеты удобно использовать для реальных производственных и научных рас- четов. В случае изучения на занятиях данных программ студенты имеют воз- можность познакомиться с прикладными специализированными пакетами, используемыми в научно-исследовательской деятельности [9]. Такие пакеты можно рекомендовать для изучения на старших курсах, когда у студентов формируются знания о производстве и реальных производственных задачах, когда приходится работать не с учебными заданиями с небольшим количе- ством вычислений, а с большими объемами данных. С точки зрения педагогической технологии крайне важно позволить сту- дентам опробовать разные методы решения одних и тех же учебных задач. Ощутив влияние минимального изменения исходных данных на полученный результат, студенты начинают более внимательно относиться к численным значениям в задачах, уважать детали, обращать больше внимания на мелочи, учатся анализировать изменения и при решении математических задач, и в жизни, и в поступках. Внимательное изучение математики способствует формированию более ответственного отношения к жизни, воспитывает лю- бовь к продуманному, последовательному выполнению различных действий. Использование в учебной деятельности различных компьютерных паке- тов позволяет индивидуализировать учебную деятельность студентов, с первого курса почувствовать опыт научной работы и творческих изысканий при решении задач по высшей математике различными способами. Многооб- разие возможностей достижения цели формирует более целостное видение постановки учебной проблемы, а также формирует возможность широкого спектра самостоятельной деятельности студента в научной сфере. Использо- вание компьютерных программ экономит время, например позволяет исполь- зовать матрицы большей размерности и решать производственно- ориентированные задачи. Рекомендуется сопоставлять возможность исполь- зования специализируемых компьютерных пакетов при обучении студентов первого курса с навыками работы студентов в программных средах. Внедрение рассмотренных компьютерных программ в учебный процесс дало положительную динамику результатов изучения студентами линейной алгебры. Занятия в компьютерном классе вызывают заинтересованность у обучаемых, индивидуализация при выполнении заданий позволяет более полно прочувствовать все этапы выполнения задач, отсутствие рутинных расчетов - сосредоточить внимание на смысловой нагрузке производимых вычислений. Студенты, привычные к использованию компьютерных техно- логий, находятся в комфортной для себя психологической среде, что улучша- ет результат учебной деятельности. Возможности данных математических программ можно использовать и в других разделах математики.

About the authors

Ekaterina V. Mazurenko

Samara State Technical University

Email: mazurenko.ev@samgtu.ru
Lecture of Advanced Mathematics and Applied Informatics Department. 244, Molodogvardejskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files