Quality check of pedagogical dough on the higher mathematics on a subject "theory of function of a complex variable"

Full Text

В настоящее время одним из способов контроля усвоения пройденного материала является тестирование. Качественно составленный тест позволяет быстро и объективно оценить уровень знаний студентов. Основными крите- риями, оценивающими качество теста, являются надежность, валидность, дискриминативность и вариация тестовых заданий [1-6]. Тесты широко используются в качестве текущего и рубежного контро- ля знаний студентов на кафедре «Высшая математика и прикладная информа- тика» СамГТУ. Эти тесты составлялись силами группы преподавателей в со- ответствии с рабочей программой для бакалавров всех специальностей уни- верситета. В данной статье исследуется качество педагогического теста по теме «Теория функции комплексной переменной» курса высшей математики (табл. 1). Этот тест проводится на втором курсе, он содержит 12 заданий и относится к тестам открытого типа с выбором одного правильного ответа из пяти предложенных. Таблица 1 Тест по теме «Теория функции комплексной переменной» № Задание Представить в показательной форме число 1 3i . 1 Ответы: 1) 2e  i 6  i ; 2) 2e 3 ; 3)  i 3e 6 ; 4) 2e  i 3 ; 5) 4e  i 3 Вычислить 1  5i . 5  i 2 Ответы: 1) 2  i ; 2) 1 3i ; 3) 4i ; 4) 5  i ; 5) i Указать множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющее условию 1  z 1 i  2 . Ответы: 1) 2) 3) y М(1,-1) M x 3 y y x 1 2 M x М(-1,-1) 4) 5) y y 2 M 1 x x M(-1,1) R1=1 R2=2 Ln(2)  ... 4 Ответы: 1) ln 2  2k i ; 2) i  2k  ; 3) i ln 2 ; 4) ln 2  i  2k ; ln 2  i    2k  5)    2  Продолжение табл. № Задание 5 Решить уравнение z4  2  2i  0 и найти возможные значения arg z.Ответы: 1)  3  k , k  0,3 ; 2) 3  k , k  0,3 ; 3) 3  k , k  0,3 ;16 2 16 2 8 2 4)  3  k , k  0,3 ; 5)  3  k , k  0,38 2 4 2 6 Для аналитической функции f (z)  u(x, y)  iv(x, y) найти v(x, y) , если из- вестно, что u(x, y)  x  y , f(0)=0.Ответы: 1) x  y ; 2)  y ; 3) x  y ; 4) y  x ; 5) x 7 Вычислить интеграл 2xi  z dz , где AB - отрезок прямой между точ-ABками z1  1 , z2  i . Ответы: 1) 1  2i ; 2) 1  2i ; 3) 2  i ; 4) 2  i ; 5) 1  2i 8 z  2dzВычислить  2 ,  : z  5  1 . zz  3Ответы: 1) 4i ; 2)  4i ; 3) 4i ; 4) 0 ; 5)  4i3 9 9 3 9 z  2dzВычислить  2 , Г:z  4  2 . zz  3Ответы: 1) 4i ; 2) 0; 3)  4i ; 4) 4i ; 5)  4i9 9 3 3 10 z  2dzВычислить  2 , Г:z  2  5 . zz  3Ответы: 1) 0; 2) 4i ; 3) 4i ; 4)  4i ; 5)  4i3 9 3 9 11 Найти особые точки и указать их характер, если e3z 1 .f (z) z(z  4i)2 Окончание табл. № Задание Ответы: 1) z = 0 - простой полюс; 2) z = 0 - устр. особая точка, z = 4i - полюс второго порядка; 3) z = 0 - существ. особая точка; 4) z = 0 - простой полюс, z = 4i - устр. особая точка, z = 4i - простой полюс; 5) нет особых точек 12 Найти вычет функции f (z)  z 2 e1/ z относительно точки z  0 (использо- вать разложение в ряд по степеням z).Ответы: 1)  1 ; 2) 0; 3) 1; 4) 1 ; 5) 12 6 2 Для проверки качества теста применяются методы математической статистики. Для этого была составлена выборка из 170 студентов нефтетех- нологического факультета университета. В ходе обработки 12 работ были ис- ключены из выборки, так как они относились к работам, авторы которых ли- бо не смогли решить ни одного задания теста, либо справились со всеми за- даниями. Такие работы не несут информации о качестве теста, поэтому их необходимо исключить из рассмотрения. Как и в ранее написанных работах [7-11], вначале оценивалась сте- пень трудности каждого задания - это величина pj, которая находится по формуле p j  m j , n где mj - количество правильных ответов на j-задание; n - общее количество студентов. На рис. 1 представлен график этой характеристики. Видно, что наибольшее затруднение вызвало 11-е задание, т. е. для студентов оно было наиболее трудным. Со вторым заданием справилось наибольшее количество студентов. Еще одна характеристика качества теста - вариация тестовых заданий - находится по формуле p j  qj , где ( q j  1 p j ). Чтобы построить ее график, необходимо отсортировать номера заданий в порядке убывания количества правильных ответов (рис. 2). Для нормативно-ориентированных тестов счи- тается, что ее величина должна быть в районе 0,25. В нашем случае как раз самое легкое и самое сложное задания менее всего удовлетворяют этим тре- бованиям, поэтому, возможно, их следует изменить в тесте. 1 0,9 величина pi 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 А11 А12 номера заданий Рис. 1. Степень трудности задания 0,3 величина p*q 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 A2 A1 A3 A4 A8 A6 A9 A5 A10 A7 А12 А11 номера заданий Рис. 2. Вариация тестовых заданий Чтобы оценить одну из главных характеристик качества теста - надежность, вычисляют коэффициент надежности rt [1 - 4]. Его величина находится по-разному: по формуле KR-20, с помощью среднего коэффициента корре- ляции R и по формуле Спирмена - Брауна. Формула KR-20 [2, 3] имеет вид  M   r M   p j q j  j 1  , t  s  1  M  1   2  x   где M - количество заданий, x s2 - исправленная дисперсия индивидуальных sx  (xi  x) 1 n баллов студентов: 2 2 n  1 , xi - индивидуальный балл испытуе- 1 n i 1 мого; x   xi n i 1 средний балл всех студентов; n - общее количество студентов. Для нашей выборки коэффициент надежности, рассчитанный по этой формуле, равен rt = 0,69. Для определения коэффициента надежности с помощью среднего ко- эффициента корреляции R всех заданий между собой применим формулу rt  MR . 1 (M  1)R Здесь r M R  1 j xy средний коэффициент корреляции всех заданий между M j 1 xy собой; r j среднее значение коэффициентов корреляции для j-го задания. При нахождении этого коэффициента корреляции рассчитывались r xy средние значения коэффициентов корреляции для каждого задания j (табл. 2). Эксперты считают [2], что их значения должны быть меньше 0,3, т. е. наши коэффициенты удовлетворяют требованиям. Таблица 2 Средние значения коэффициентов корреляции A2 A1 A3 A4 A8 A6 A9 A5 A10 A7 A12 A11 r j xy 0,23 0,21 0,28 0,17 0,24 0,27 0,20 0,25 0,28 0,26 0,15 0,19 В результате получаем R  0,226 , rt = 0,778. Чтобы применить формулу Спирмена - Брауна [2, 5], необходимо раз- делить тест на две части по четным и нечетным заданиям, затем вычислить коэффициент корреляции r между этими группами по формуле 1/ 2 n  n   n  r 1/ 2 n xi yi    xi     yi   i 1  i 1   i 1  ,       n n  2  2  n n 2   2   n xi    xi     n yi    yi    i 1  i 1    i 1  i 1   где хi и yi - индивидуальные баллы i-го испытуемого в четных и нечетных за- даниях соответственно. Полученные значения подставляют в формулу 2r rt  1/ 2 1  r 1/ 2 . (1) Для нашей выборки коэффициент корреляции r равен 0,495. Подстав- 1/ 2 ляем его в формулу (1) и находим коэффициент надежности rt = 0,662. При сравнении значений коэффициентов корреляции можно сделать вы- вод, что не все величины удовлетворяют требованиям экспертов (больше 0,7). Чтобы повысить надежность теста, можно изменить задания, которые сни- жают коэффициент надежности, либо увеличить количество заданий в тесте [1, 2, 6]. Чтобы определить, на сколько заданий надо увеличить тест, приме- ним формулу [1] rt  krt , 1 (k  1)rt где rt - коэффициент надежности до изменения длины теста; rt - коэффициент надежности после изменения; k - кратность изменения. В качестве rt возьмем наименьшее из полученных значений коэффициента надежности rt  0,662 , в качестве нового значения rt зададим требуемую величину коэффициента надежности - 0,7. Найдем кратность изменения, получим k  1,19 . Значит, тест необходимо дополнить еще двумя задачами. Таким образом, проведенные исследования качества педагогического теста по теме «Теория функции комплексной переменной» показывают, что не все из рассчитанных по трем формулам коэффициентов надежности удов- летворяют требованиям экспертов. Чтобы повысить уровень качества теста, рекомендуется, например, изменить 2-е и 11-е задания (второе - усложнить, а одиннадцатое - упростить) или увеличить количество заданий в тесте.

About the authors

Larisa V. Limanova

Samara State Technical University

Email: llv-1@mail.ru
Cand. Tech. Sci., Associate Professor of Higher Mathematics and Applied Informatics Department 244, Molodogvardeyskaya Str., Samara, 443100

References

Supplementary files