Professionally oriented approach to the study of the section "integral calculus" in the training of specialists of the economic profile

Full Text

Произошедшие за последнее время изменения в системе образования повлекли за собой потребность в новых подходах к разработке, обновлению и совершенствованию учебного процесса в вузе. Одним из основных досто- инств технического вуза является то, что он дает студентам фундаментальные знания, связанные с их будущей профессиональной деятельностью [1]. Математика является основой для различных фундаментальных иссле- дований, а значит, качественное математическое образование является важ- ной частью профессиональной подготовки специалистов. Довольно часто после окончания высшего технического учебного за- ведениия инженеры, умея производить различные математические операции, не имеют должного представления о возможностях и роли использования ма- тематических методов при решении задач, т. е. прослеживается отрыв мате- матических знаний от умения их применять. Поэтому помимо формирования у студентов математических понятий и соответствующих умений необходимо заниматься развитием правильных представлений о роли математики и воз- можностях использования математического аппарата при решении техниче- ских и научных задач [2]. Раздел «Математический анализ» - фундамент базовой математиче- ской подготовки экономиста. Одной из самых сложных тем математического анализа является интегральное исчисление, так как процесс вычисления инте- гралов в целом не поддается формальной схематизации. В основном практи- ческое приложение интеграла используется в физике и технике, а также при нахождении объемов геометрических тел и при вычислении площадей разно- образных фигур. В то же время интегральное исчисление дает богатый мате- матический аппарат для моделирования и исследования процессов, происхо- дящих в экономике. При этом нужно отметить, что в курсах экономического и экономико-математического содержания необходимость вычисления слож- ных интегралов практически не встречается [3]. Поэтому при изложении те- мы «Интегральное исчисление» для экономических направлений можно не рассматривать подробно интегралы от рациональных дробей, имеющих в знаменателе кратные комплексные корни, интегралы от функций, содержа- щих иррациональности (кроме простейших), от тригонометрических функ- ций, приводящие к интегралам от громоздких дробно-рациональных функ- ций, а уделить больше времени применению интегрального исчисления в экономике. Теме «Несобственные интегралы» стоит уделить несколько больше времени, чем это обычно делается в программе высшей математики для эко- номистов, дав четкие представления о сходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Это обосновано тем, что данные объекты ак- тивно используются теорией оптимального управления, а также присутству- ют в большом количестве моделей теории экономического роста. Остановимся на некоторых примерах использования интегрального исчисления в экономике. Рассмотрим некоторые экономические приложения определенного ин- теграла: - если функция y  f (t) описывает изменение производительности некоторого производства, то объем продукции, произведенной за время [0;T], вычисляется по формуле T Q   f (t)dt; 0 - если в функции Кобба - Дугласа затраты труда считать линейно зави- симыми от времени, а затраты капитала неизменными, то объем производи- мой продукции Q за T лет равен T Q   (at   )e tdt; 0 - если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует функция , а удельная норма процента равна p, то дисконтированный доход K за T составляет T K   f (t)e ptdt; 0 - если известна функция потребления c(t) за определенный промежуток времени , то значение суммарного фонда потребления C(T) можно опре- делить по формуле и т. д. T C   c(t)dt; 0 Пример 1. Определить дисконтированный доход, если процентная ставка 7 %, первоначальные вложения 15 млн руб., прирост 4 млн руб. еже- годно. Срок - 3 года. Решение. Согласно условию задачи функция капиталовложений явля- ется линейной, т. е. f(t) = k + lt, где k - первоначальные вложения, l - ежегод- ный прирост. Значит, f(t)=15+4t. Удельная норма процента равна p = 0,07. Для определения дисконтного дохода воспользуемся формулой T K   f (t)e ptdt; 0 тогда Это означает, что если вложить 15 млн руб. и в течение следующих трех лет дополнительно ежегодно вкладывать по 4 млн руб., то через три года наращенная сумма составит ту же величину, что и в случае одновременного первоначального вложения в 56 млн руб. при той же исчисляемой непрерыв- ной процентной ставке. Пример 2. Найти объем продукции, произведенной рабочим за второй час рабочего дня, если производительность труда характеризуется следую- щей функцией: . Решение. Определение объема произведенной продукции сводится к вычислению определенного интеграла вида . За второй час работы рабочий произведет 5 единиц продукции. Рассмотрим на нескольких примерах применение неопределенного интеграла в экономике: если u1 - значение целевой функции общественного благосостояния (ЦФБ) при полном удовлетворении рациональных потребностей, а u(t) - зна- чение ЦФБ в момент времени t, то потери благосостояния общества при дви- жении к идеальному состоянию определяются интегралом ; если g(t) - целевая функция потребления, тот при непрерывном вре- мени объемы потребления вычисляются по формуле ; если l(t) - функция, выражающая количество оборудования, нахо- дящегося в рабочем состоянии по истечении t лет, то средний срок эксплуа- тации равен ; если функция f(t) характеризует изменение издержек обращения и капиталовложений, то общую сумму текущих затрат можно определить по формуле . Пример 3. Найти средний срок эксплуатации оборудования, если функция, характеризующая количество оборудования, находящегося в рабо- чем состоянии по истечении времени t, имеет вид . Решение. Средний срок эксплуатации оборудования находится по формуле . Пример 4. Определить общую сумму текущих затрат, если функция, ха- рактеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид Решение. Общую сумму текущих затрат можно определить по формуле . Итак, можно сделать вывод, что интегральное исчисление является мощным средством решения прикладных экономических задач. Для повыше- ния мотивации к изучению высшей математики на «нематематических» спе- циальностях необходимо прослеживать важную роль профессионально ори- ентированных задач, так как студенты должны понимать: то, чем они зани- маются в настоящий момент, близко к их будущей профессии. Также необхо- димо показать, что огромный спектр прикладных задач сводится к ограни- ченному числу различных математических моделей, решать которые студен- ты научились в процессе овладения фундаментальными математическими понятиями.

About the authors

Nataliya V. Spiridonova

Samara State Technical University

Email: nvshkolina@mail.ru
Lecturer of Higher Mathematics and Applied Informatics Department. 244, Molodogvardeyskaya Str., Samara, 443100

References

Supplementary files