STATISTICAL PROCESSING OF RESULTS OF TESTING OF STUDENTS

Full Text

Опытно-экспериментальные исследования в педагогике часто являются единственным способом подтверждения эффективности той или иной новой методики по сравнению с уже известной, т.к. отсутствие аксиоматики и адекватного формального аппарата не позволяют сделать однозначного вывода о преимуществе одной методики перед другой [1]. Анализ педагогических исследований последнего времени показывает, что при осознании необходимости использования статистических методов они тем не менее либо не используются вообще, либо часто используются некорректно [2]. Так, в большинстве работ нет никаких упоминаний об измерении и обработке экспериментальных данных. В данной работе проводится статистическая обработка результатов применения модели адаптивной профессиональной подготовки [3], ориентированной на приспособление системы обучения к индивидуальным особенностям обучающихся. Изложенные в работе методы математической статистики позволяют получить количественную оценку качества усвоения учебного материала. С этой целью построен интервальный вариационный ряд, вычислены числовые характеристики, построены гистограмма относительных частот и линии эмпирической и теоретической плотности, сформулирована и подтверждена гипотеза о виде закона распределения, вычислены доверительные интервалы для определения неизвестного математического ожидания, рассчитан необходимый объем ресурса внешней поддержки, построена шкала успешности обучения. Эффективность технологии организации самообразовательной деятельности студентов исследуется с помощью эксперимента, проведенного преподавателями кафедры «Высшая математика» в Самарском государственном университете путей сообщения (СамГУПС) в 2013-2015 учебных годах. В нем приняли участие 338 студентов СамГУПСа, специальностей «Строительство железных дорог (СЖД)» и «Экономика (Э)», которых распределили на две группы - экспериментальную и контрольную. В экспериментальную вошли группы СЖД 31, СЖД 32, Э 31, Э 32, Э 41, Э 42 общим количеством 170 человек; в контрольную - СЖД 33, СЖД 34, Э 33, Э 34, Э 43, Э 44 общим количеством 168 человек. Случайность распределения студентов по учебным группам обеспечивает репрезентативность (представительность) выборки. При этом экспериментальная и контрольная группы были сравнимы по основным показателям равенства начальных условий, что показал первоначальный тест, составленный в рамках школьной программы. По завершению эксперимента с использованием учебно-методических пособий [4, 5] в экспериментальной группе было проведено контрольное тестирование. Его результаты представляют собой выборку объемом 170 элементов. В качестве случайной величины Х (СВХ), примем коэффициент усвоения учебной информации отдельным студентом [3-5] , где - количество правильно выполненных учебных элементов теста, - общее количество учебных элементов в тесте. Введем следующие обозначения: - количество студентов в экспериментальной группе (объем выборки); - значение (варианта); - величина, показывающая сколько раз появлялось данное значение в выборке (частота варианты); - относительная частота варианты; - размах варьирования СВХ; . - шаг интервала, где - целое число, обозначающее количество частичных интервалов, , . - плотность частоты. Полученные в результате тестирования данные (коэффициенты ) представляют собой множество чисел, в которых трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования), поэтому данные подвергают статистической обработке [6-13]. Строим интервальный вариационный ряд, т. е. ранжированной совокупности вариант , разбитой на частичные интервалы с шагом ставим в соответствие их частоты , относительные частоты и плотности частот (табл. 1). Таблица 1 Интервальный ряд распределения 0-0,1 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-,04 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8 0,8-0,9 0,9-1 0 0 1 1 3 10 23 61 47 24 0 0 0,006 0,006 0,018 0,059 0,135 0,359 0,276 0,141 0 0 0,06 0,06 0,18 0,59 1,35 3,59 2,76 1,41 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 В последней строке этой таблицы приведены значения величины - середины частичных интервалов , необходимые для дальнейших вычислений. Вычислим наиболее важные числовые характеристики СВХ - выборочную среднюю (среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности), выборочную дисперсию (среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их средних значений ) и выборочное среднее квадратическое отклонение по формулам: ; ; . Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны плотности относительной частоты . Заметим, что площадь гистограммы равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Соединив соседние середины верхних сторон прямоугольников гистограммы отрезками прямых, получим ломаную линию, называемую линией эмпирической плотности (рис. 1). По виду линии эмпирической плотности выдвигаем статистическую гипотезу о законе распределения СВХ. : СВХ подчинена нормальному закону распределения с плотностью распределения Построим линию теоретической плотности по следующим точкам: ; ; . Для проверки выдвинутой гипотезы используем один из критериев согласия - специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Воспользуемся критерием Пирсона , состоящим в сравнении эмпирических и теоретических частот. Теоретические частоты вычислим по известному алгоритму. 1. Нормируем СВХ, т. е. переходим к величине , вычисляем концы интервалов ; . Рис. 1. 1 - гистограмма относительных частот, 2 - линия эмпирической плотности , 3 - линия теоретической плотности распределения 2. Теоретические вероятности попадания СВХ в интервал определим по формуле , где ; - функция Лапласа, находится по таблице [3; 5; 13]. 3. Находим искомые теоретические частоты : . Результаты наблюдений и вычислений после объединения интервалов с частотами приведены в табл. 2. Таблица 2 Эмпирические и теоретические частоты 1 2 3 4 5 15 23 61 47 24 14,773 34,136 52,207 43,52 25,364 Вычислим наблюдаемое значение критерия : , где - число интервалов в табл. 2. . Критическое значение критерия находим по таблице «Критические точки распределения » [3; 5; 13], задаваясь уровнем значимости . Уровень значимости - это вероятность ошибки 1-го рода, т. е. вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута. Число степеней свободы вычислим по формуле , где - число параметров предлагаемого распределения, для нормального закона их два: выборочная средняя и выборочное среднее квадратическое отклонение . Итак, . . Таким образом, получаем неравенство , т. е. вычисленное значение критерия попадает в «область принятия гипотезы», следовательно, гипотеза : «СВХ подчинена нормальному закону распределения» принимается. Вообще для определения закона распределения нужно располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка нескольких сотен отчетов (наблюдений) [14]. Мы же пока имеем дело со статистическим материалом ограниченного объема - 170 наблюдений, однако, поскольку гипотеза о нормальном распределении подтверждена, можно определить его неизвестные параметры, например, оценить неизвестное математическое ожидание а (среднее значение коэффициента усвоения ) с помощью найденной по данным выборки выборочной средней . Очевидно, что чем меньше разница между ними, тем точнее определен неизвестный параметр. , где - точность оценки. Методы математической статистики не позволяют категорически утверждать, что а попадает в интервал , называемый доверительным интервалом, можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство выполняется. - надежность оценки, задается наперед, числом, близким к единице. Выберем . Для нормального закона распределения имеем , заменив Х на , на , получаем . В нашем случае . По таблице значений функции Лапласа [11, 14, 15] находим и точность оценки . Т. к. , то доверительный интервал имеет вид (0,751; 0,789), т. е. в 95 случаях из 100 средний коэффициент усвоения попадает в этот интервал. Подбор нормальной кривой распределения N( , ) позволяет также построить шкалу успешности обучения, т. е. практически реализовать стандартные оценки [16]. Оценим вероятность попадания СВХ в интервал научения [0; 0,7), характеризующий недостаточность в усвоении предложенной учебной информации. На этом этапе студент требует постоянного внимания преподавателя, т. е. ему необходима внешняя поддержка в виде дополнительных учебных заданий и консультаций. По известной формуле вероятность попадания СВХ в заданный интервал для нормального распределения вычисляется следующим образом: , где ; ; , . . Учитывая полученный результат, можно сделать вывод, что примерно 30 % студентов будут нуждаться в дополнительной самообразовательной деятельности для достижения удовлетворительного формирования инвариантной самообразовательной компетентности. Аналогичным образом можно определить вероятность попадания в любой интервал . Так, для совокупности значений СВX, попавших в интервал , такая вероятность равна 0,9973 (правило трех сигм). Можно оценить подобную вероятность и для интервалов и (рис. 2). Рис. 2. Вероятность попадания в интервалы , и Рис. 3. Шкалы и их соотношение Использование стандартных оценок и единичного нормального распределения N(0,1) позволяет вычислить не только общий процент случаев, приходящихся на соответствующий интервал, но и определить, на сколько отстоит любое значение СВХ от . Для этого используем шкалу процентилей - равноинтервальную шкалу, в которой интервалы группируются по принципу равенства накопленных частот, и Z-шкалу, позволяющую отнести каждого обучаемого в один из четырех непересекающихся классов оценок с вероятностью 0,25, для чего весь интервал (0,1) разбивается на подинтервалы (0; 0,387], (0,387; 0,5], (0,5; 0,613], (0,613; 1], границы которых соответствуют процентилям P0,1, P25 , P50 , P75 , P99,9 (шкалы 1 и 2 на рис. 3). Для качественной интерпретации стандартных показателей шкалы отнесем каждого обучающегося в один из непересекающихся классов Z-оценок - класс 2, класс 3, класс 4 и класс 5 (шкала 3 на рис. 3). Таким образом, знание закона распределения СВХ позволяет в дальнейшем проводить группировку объектов по Z-шкале с последующим переходом к балльной шкале, где все объекты исследуемой группы отнесены к конкретному классу оценок.

About the authors

Yulia V. Gumennikova

Samara State University of Railways

Email: gumennikuv@yandex.ru

Elena N. Ryabinova

Samara State Technical University

Email: eryabinova@mail.ru

Ruzilya N. Chernitsina

Samara State University of Railways

Email: y-abc@mail.ru

References

Supplementary files