Формирование концептуального понимания математики у студентов технических университетов
- Авторы: Кузнецова Е.В.1, Жбанова Н.Ю.1
-
Учреждения:
- Липецкий государственный технический университет
- Выпуск: Том 17, № 3 (2020)
- Страницы: 77-90
- Раздел: Статьи
- URL: https://vestnik-pp.samgtu.ru/1991-8569/article/view/52436
- DOI: https://doi.org/10.17673/vsgtu-pps.2020.3.5
- ID: 52436
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Глобальные вызовы, с которыми сегодня сталкивается человечество, ставят перед высшим образованием задачу готовить специалиста, обладающего фундаментальной подготовкой и способностью учиться в течение всей жизни. Фундаментализация образования невозможна без формирования у студентов концептуального понимания изучаемого материала. Эта проблема в достаточной мере актуальна при изучении математики в силу специфики природы данной науки. Отсутствие у исследователей единой точки зрения при определении сущности концептуального понимания математики не позволяет практикам разрабатывать инструменты для оценки уровня концептуального понимания у студентов вузов и осуществлять целенаправленные шаги по его формированию. Цель данной статьи - выявить и сформулировать сущностные характеристики и педагогические условия развития концептуального понимания математики, а также исследовать возможности компьютерного моделирования как средства формирования концептуального понимания в процессе обучении теории вероятностей студентов технических университетов, определить эффективность заданий компьютерного практикума. Проведенное исследование показало, что компьютерный практикум, разработанный на основе выявленных педагогических условий и с учетом дидактических возможностей ИКТ в учебном процессе, является эффективным средством развития концептуального понимания при изучении курса теории вероятностей. Студенты, в учебный план которых был включен практикум с элементами компьютерного моделирования, в большей мере владеют методологически значимым знанием и способностью связать ранее изученный материал с новыми проблемами.
Полный текст
Введение Сегодня мы наблюдаем быстрое развитие техники и технологий, появле- ние новых профессий и исчезновение старых, постоянную смену требований к компетентности специалиста. В данных условиях перед профессиональным образованием встает задача не только идти в ногу со временем, но и предвос- хищать будущее. Таким образом, возрастает актуальность принципа фунда- ментальности образования. Как отмечал В.А. Садовничий, «фундаменталь- ность высшего образования - это соединение научного знания и процесса об- разования, дающее понимание образованным человеком того факта, что все мы живем по законам природы и общества, которые никому не дано игнори- ровать» [1]. Овладение фундаментальными знаниями, составляющими основу этих законов, является залогом устойчивого развития общества, поскольку главной причиной глобального кризиса является человек, недостаток его компетентности и культуры. В реализации принципа фундаментальности об- разования ключевая роль принадлежит концептуальному пониманию. Про- блема концептуального понимания изучаемого материала в процессе препо- давания математики актуальна в силу самой специфики данной науки, высо- кой абстрактности ее понятий. Являясь универсальным языком науки, мате- матика посредством математического моделирования позволяет проникать в суть изучаемого явления. Поэтому знание алгоритмов и формальное знание ее законов недостаточно современному специалисту для решения профессио- нальных задач, особенно для студентов технических, математических и IT- направлений. Применение компьютерного моделирования в учебном процес- се позволяет достичь необходимого баланса между теорией, экспериментом и вычислениями, что способствует концептуальному пониманию изучаемых дисциплин и формированию профессиональных компетенций будущих спе- циалистов [2]. Цель статьи - выявить и сформулировать сущностные характеристики и педагогические условия формирования концептуального понимания матема- тики, а также исследовать возможности интеграции компьютерного моделиро- вания как средства развития концептуального понимания в процессе обучения теории вероятностей студентов технических университетов, определить эффек- тивность разработанной системы заданий компьютерного практикума. Обзор литературы Следует отметить, что фундаментальность представляет собой важную традицию образования в России. По словам В.А. Садовничего, «в отличие от других наций мы сразу стали учиться научно мыслить и учить студенчество мыслить целостными, фундаментальными теориями и действовать в практике сообразно методам получения таких фундаментальных знаний. На этой осно- ве взросли наша академическая наука, университеты, общеобразовательная школа» [1]. Анализ публикаций последних лет [3-6] позволяет сделать вывод, что проблема фундаментализации как образования в целом, так и математи- ческого образования в школе и вузе является актуальной. В соответствии с мнением А.С. Воронина [7], понятие фундаментальность образования под- разумевает единство трех составляющих: 1) глубина, основательность и це- лостность системообразующего методологически значимого знания; 2) взаи- мосвязь теоретической и прикладной составляющих обучения; 3) развитие научного мышления и формирование общей культуры. Заметим, что ни одна из них не может быть реализована без формирования у студентов концепту- ального понимания. Заметим также, что большая часть работ, посвященных преподаванию мате- матики, в той или иной мере затрагивает и проблему понимания: ни один препо- даватель не ставит в качестве цели обучения уровень запоминания- воспроизведения. В соответствии с традицией при изучении математики такие исследователи, как Дж. Хиберт и П. Лефевр [8], А.Дж. Баруди, Ю. Фейл и А.Р. Джонсон [9], выделяют концептуальное и процессуальное знания (conceptual and procedural knowledge): понимание понятий и умение решать задачи. Исследова- ния Дж.П. Бирнса, Б. Риттл-Джонсона и М. Шнейдера показали, что эти два вида знания находятся в интерактивном взаимодействии [10-12]. Однако, по мнению Н. Крукса, в последние годы большее внимание уделяется концептуальному по- ниманию [13]. Среди статей российских авторов, касающихся вопросов сниже- ния формализма и повышения уровня понимания материала при изучении мате- матики, можно выделить работы А.Я. Хинчина [14], Э.К. Брейтгам и С.Д. Кара- козова [15], С.А. Владимирцевой [16], Е.В. Кузнецовой [17]. В преподавании теоретико-вероятностных разделов математики проблема концептуального понимания имеет ряд особенностей в силу того, что теория вероятностей занимает особое положение среди прочих дисциплин есте- ственно-научного цикла из-за некоторой двойственности. Двойственность ее заключается в том, что основные понятия теории вероятностей подчиняются строгой математической логике и в то же время могут быть рассмотрены как философские суждения. Действительно, глубокое погружение в данную дис- циплину невозможно без осмысления философской сущности таких важней- ших ее понятий, как случайность, возможность, вероятность, как и невоз- можно без формирования особого стиля мышления, приобретения опыта сто- хастического моделирования [18]. Компьютерный практикум позволяет обучающимся дополнить абстракт- ные представления о вероятностных распределениях четкими зрительными образами и осязаемым практическим опытом; в дальнейшем это сделает воз- можным эффективное вероятностное прогнозирование при решении творче- ских научно-исследовательских задач [19-22]. Материалы и методы Методологическую основу исследования составили системный и личностно-деятельностный подходы. Применение компьютерного модели- рования в учебном процессе организовано с учетом дидактических возмож- ностей ИКТ: интерактивный диалог; компьютерная визуализация учебной информации; компьютерное моделирование; хранение больших объемов ин- формации и обеспечение легкого доступа к ней; автоматизация процессов вычисления и информационно-поисковой деятельности; автоматизация про- цессов информационно-методического обеспечения, организационного управления учебной деятельностью и контроля результатов обучения [23, с. 13-14]. Разработка теоретического базиса и интеграция компьютерного моде- лирования в практику преподавания теории вероятностей основаны на анали- зе научной литературы, анализе и обобщении педагогического опыта и ре- зультатов педагогического эксперимента и изучении студенческих оценок. Результаты исследования Как подчеркивают в своей работе Crooks и Alibali, среди ученых нет единого подхода к определению понятия «концептуальное понимание в математике» [13]. Однако на основе изучения материалов статей можно выделить особенно- сти данного понятия. Прежде всего, к концептуальному пониманию в математи- ке относят комплексное функциональное понимание математических идей. Зна- ния студентов, для которых характерно концептуальное понимание, не ограни- чиваются отдельными фактами и алгоритмами. Они понимают, почему та или иная математическая идея важна и каковы ситуации, в которых она полезна. Они организовали свои знания в связное целое, что позволяет им изучать новые идеи, соединяя эти идеи с тем, что они уже знают. Поскольку факты и методы, изу- ченные с пониманием, связаны, их легче запомнить и использовать и они могут быть восстановлены, когда их забывают. Студенты, обладающие концептуальным пониманием математики: могут обосновать свои действия в ходе решения задачи или доказатель- ства теоремы; знают границы применимости, могут привести примеры и контрпримеры; гибко используют альтернативные подходы; умеют переходить в другие контексты; обладают способностью формировать различные представления объекта (формулы, графики, таблицы); могут придумать задачу, при решении которой применима данная тео- рема или правило. Для достижения концептуального понимания математики при обучении студентов вузов необходимы следующие педагогические условия: практическое, активное обучение, которое питает цикл восприятия- действия; соотнесение ранее освоенного материала с новыми идеями и проблемами; применение математики в различных формах, которые требуют творче- ского решения проблем, обучение навыку применять понятия к совершенно новым ситуациям; формирование множества ключевых, методологически значимых поня- тий и идей; акцент на идеях, а не на алгоритмах. В работе [16] выделяется два способа формирования математических по- нятий: классификационно-операционный и актуализированный (онтологиче- ский). В первом способе понятие вводится через род и видовые различия, при этом основными действиями являются выявление существенных признаков и классификация. Второй способ предполагает создание образа понятия по- средством различных форм представления знания. Классификационно- операционный способ формирования понятий эффективен для наук о приро- де, таких как химия, физика, биология. Актуализированный способ формиро- вания понятий эффективен для абстрактных и базовых дисциплин. Примером таких понятий могут служить основные понятия вероятност- ных разделов математики. На основе изучения научных исследований по фи- лософии и истории теории вероятностей были сформулированы системы ключевых понятий [18]. Для теории вероятностей это случайность, вероят- ность, случайное событие, случайная величина, вероятностные распределе- ния, числовые характеристики случайных величин, совместные распределе- ния случайных величин, независимость, корреляция. Для математической статистики ключевыми понятиями являются такие понятия, как выборка, ге- неральная совокупность, параметр распределения, оценка параметра распре- деления, несмещенность, состоятельность оценок, доверительный интервал, гипотеза, статистический вывод. Формированию систем ключевых понятий должно уделяться повышенное внимание, поскольку это создает базис кон- цептуального понимания вероятностных методов и идей. Как показала практика, компьютерное моделирование является эффек- тивным инструментом формирования понятий теории вероятностей при условии реализации комплексного использования ИКТ в учебном процессе с учетом всего спектра их дидактических возможностей, раскрытых в работе И.В. Роберт [23, c. 13-14]. Нами разработаны системы заданий для изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которые позволяют студентам создать образ изучаемого понятия, выявить его харак- теристики и свойства. Цель практикума - дать возможность студентам при- обрести опыт работы с моделями объектов, имеющих вероятностную приро- ду, понять сущность теоретических положений, приобрести навыки вероят- ностного моделирования и компьютерного анализа данных. Например, в курсе теории вероятностей важное место для концептуаль- ного понимания предмета и практического применения принадлежит теме «Предельные теоремы» и, в частности, изучению центральной предельной теоремы Ляпунова. В центральной предельной теореме утверждается, что ес- ли случайная величина представляет собой сумму очень большого числа вза- имно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то закон распределения такой величины будет близок к нормальному. Таким образом, центральная предельная теорема аккумули- рует такие ключевые понятия теории вероятностей, как случайная величина, законы распределения, числовые характеристики случайных величин. В це- лях активного понимания, запоминания и закрепления материала студентам предлагается пройти три этапа выполнения задания. На первом этапе обучающиеся генерируют в любом подходящем матема- тическом пакете (Statistica, Excel, R и т. д.) 10 столбцов х1, ..., х10 по 100 слу- чайных чисел, имеющих одно из трех распределений - нормальное N(a, σ), экспоненциальное E(λ) или равномерное U(a, b) на отрезке [a, b]. В процессе выполнения задания студентам предлагается сформулировать сущность таких ключевых понятий, как случайная величина, вероятностное распределение, числовые характеристики случайной величины, а также вспомнить свойства основных вероятностных распределений и способы генерирования случай- ных величин в различных программных средах. Отметим, что это все студен- ты уже изучали ранее. Акцент на ключевых понятиях в разных контекстах способствует переходу информации из кратковременной в долговременную память (консолидация материала) и в то же время позволяет сформировать связи между важнейшими положениями дисциплины. На втором этапе задания вычисляются суммы y1 x1 , y2 y1 x2 , … y10 y9 x10 , каждая из которых представляет собой столбец из 100 чисел. Наконец, на третьем этапе студенты строят гистограммы для сумм y1 , …, y10 , анализируют полученные графики и на практике убеждаются в справедливости центральной предельной теоремы: при увеличении количе- ства слагаемых закон распределения суммы приближается к нормальному. Кроме этого, студентам предлагается сделать вывод о влиянии выбора закона распределения на вид получаемых гистограмм. На рисунке выборочно представлены гистограммы для сумм y1 , y5 , y8 , y10 и соответствующие нормальные кривые. В рассматриваемом примере для генерации случайных чисел x1 , …, x10 было выбрано равномерное распределение. На рисунке а приведена гистограмма для переменной y1 , которая соответствует равномерному распределению. Сравнив графики, легко убедиться, что гистограммы на рисунках b-d (суммы y5 , y8 , y10 соответственно) становятся все ближе и ближе к нормальному распределению. Графическая иллюстрация третьего этапа лабораторной работы Третий этап особенно важен, так как позволяет студентам сопоставить ключевым понятиям графические образы, что влечет за собой углубление за- поминания и позволяет формировать различные представления изучаемого объекта. Образная форма передачи информации, сочетающаяся с вербальной, играет одну из основных ролей в формировании концептуального понимания. Далее, в процессе выполнения лабораторной работы студентам предлага- ется выявить и сформулировать связь центральной предельной теоремы с изученной ранее теоремой Муавра - Лапласа, которая, по сути, также пред- ставляет собой один из вариантов закона больших чисел. Таким образом, при правильно подобранной последовательности заданий и лабораторных работ одно и то же понятие либо утверждение освещается и иллюстрируется при- мерами с разных сторон, что способствует пониманию и запоминанию как самих ключевых понятий, так и связей между ними, что приводит к более полному и осмысленному пониманию предмета. Для проверки эффективности разработанной системы заданий был прове- ден педагогический эксперимент, в котором принимали участие две группы студентов из 18 и 16 человек, изучавших теорию вероятностей в одном пото- ке. В первой группе (экспериментальной) учебным планом помимо лекций и практических занятий был предусмотрен компьютерный практикум. Во вто- рой группе (контрольной) предусмотрены только лекции и практические за- нятия. В следующем семестре в процессе изучения дисциплины «Экономет- рика» рассматривались свойства оценок параметров линейной регрессии, по- лученных по методу наименьших квадратов, и условия проверки статистиче- ских гипотез о значимости коэффициентов регрессии. В экспериментальной группе 14 человек (77 %) смогли сформулировать сущность центральной предельной теоремы, в контрольной группе - 6 человек (38 %). Применить центральную предельную теорему в новом контексте смогли 5 человек в пер- вой группе (28 %) и 2 человека во второй группе (12 %). Таким образом, в экспериментальной группе студенты демонстрируют более высокий уро- вень концептуального понимания, чем в контрольной. Обсуждение и заключение В связи с математизацией и интеграцией научного знания проблема кон- цептуального понимания математики приобретает особую актуальность, по- скольку концептуальное понимание в математике - это создание надежной структуры, представляющей многочисленные и переплетенные отношения между математическими идеями, паттернами и процедурами. Эта структура может использоваться для последовательной интеграции новых знаний и решения незнакомых проблем как при обучении в вузе, так и в будущей профессиональной деятельности. Выявленные и сформулированные сущ- ностные характеристики и педагогические условия развития концептуального понимания создают теоретическую основу для планирования практических шагов по формированию этого важного качества в процессе преподавания математики и разработки оценочных инструментов, позволяющих оценить уровни его сформированности у студентов. Примером подобных шагов может служить интеграция компьютерного моделирования в процесс преподавания курса теории вероятностей, основан- ная на комплексном применении ИКТ как средства обучения и инструмента познания. Педагогический эксперимент показал, что компьютерный практи- кум, построенный с учетом сформулированных педагогических условий формирования концептуального понимания математики и с учетом дидакти- ческих возможностей ИКТ, является эффективным средством развития кон- цептуального понимания теоретико-вероятностных идей и методов, посколь- ку позволяет студентам организовывать свое знание системно и применять его в новых ситуациях.×
Об авторах
Елена Васильевна Кузнецова
Липецкий государственный технический университет
Email: eva351@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика». Российская Федерация, 398055, г. Липецк, ул. Московская, 30
Наталья Юрьевна Жбанова
Липецкий государственный технический университет
Email: zbanoid@gmail.com
кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика». Российская Федерация, 398055, г. Липецк, ул. Московская, 30
Список литературы
- Садовничий В.А. Традиции и современность // Высшее образование в России. - 2003. - № 1. - С. 11-18.
- Teodoro V.D., Neves R.G. Mathematical modelling in science and mathematics education. Computer Physics Communications. 2011. Vol. 182 (1). P. 8-10. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2010.05.021 (accessed August 21, 2020).
- Деза Е.И. Фундаментальные знания как содержательная база профессионализма учителя математики // Профессионализм педагога: сущность, содержание, перспективы развития. Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 130-летия А.С. Макаренко. Под ред Е.И. Артамоновой. - М.: Изд-во Некоммерческое партнерство «Международная академия педагогического образования», 2019. - С. 81-83.
- Перминов Е.А., Гаджиев Д.Д., Абдуразаков М.М. Об актуальности фундаментализации математической подготовки студентов педагогических направлений в цифровую эпоху // Образование и наука. - 2019. - Т. 21. - № 5. - С. 87-112. doi: 10.17853/1994-5639-2019-5-87-112
- Подуфалов Н.Д. О некоторых методологических проблемах развития системы образования // Педагогика. - 2019. - Т. 83. - № 8. - С. 5-11.
- Тестов В.А. Цели и содержание обучения математике: современный этап // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2018. - № 20. - С. 48-56.
- Воронин А.С. Словарь терминов по общей и социальной педагогике. - Ектеринбург: УГТУ-УПИ, 2006. - 135 с.
- Hiebert J., Lefevre P. Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. New York: Routledge, 1986. P. 113-133. https://doi.org/10.4324/9780203063538 (accessed August 22, 2020).
- Baroody A.J., Feil Y., Johnson A.R. An alternative reconceptualization of procedural and conceptual knowledge. Journal for Research in Mathematics Education. 2007. Vol. 38. P. 115-131. doi: 10.2307/30034952, https://www.jstor.org/stable/30034952 (accessed August 30, 2020).
- Byrnes J.P., Wasik B.A. Role of conceptual knowledge in mathematical procedural learning. Developmental Psychology. 1991. Vol. 27. P. 777-786. https://doi.org/10.1037/0012-1649.27.5.777 (accessed September 21, 2020).
- Byrnes J.P. The conceptual basis of procedural learning. Cognitive Development. 1992. Vol. 7. Рр. 235-257. https://doi.org/10.1016/0885-2014(92)90013-H (accessed September 11, 2020).
- Rittle-Johnson B., Schneider M. Developing conceptual and procedural knowledge of mathematics. Oxford handbook of numerical cognition. Oxford: Oxford University Press. 2014. P. 1118-1134.https://www.oxfordhandbooks.com/view/10.1093/ oxfordhb/9780199642342.001.0001/oxfordhb-9780199642342-e-014 (accessed September 20, 2020).
- Crooks N.M., Alibali M.W. Defining and measuring conceptual knowledge in mathematics. Developmental Review. 2014. Vol. 34. P. 344-377. https://doi.org/10.1016/j.dr.2014.10.001 (accessed September 2, 2020).
- Хинчин А.Я. О формализме в школьном преподавании математики // Педагогические статьи. - М.: Изд-во Академии педагогических наук РСФСР, 1963. - 204 с.
- Брейтигам Э.К., Каракозов С.Д. Целостность системы базовых понятий при изучении математики в школе и вузе // Мир науки, культуры, образования. - 2010. - № 3. - C. 190-194. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18076976 (дата обращения: 04.09.2020).
- Владимирцева С.А. Основные направления развития теории формирования математических понятий в школе // Мир науки, культуры, образования. - 2008. - № 4. - C. 103-107 [Электронный ресурс]. - URL: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=11625982 (дата обращения: 05.09.2020).
- Кузнецова Е.В. К вопросу о взаимосвязи знания и понимания в процессе преподавания математики // Преподаватель XXI век. - 2013. - № 3-1. - С. 52-57 [Электронный ресурс]. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=20316558 (дата обращения: 06.09.2020).
- Kuznetsova E. Probabilistic ideas and methods in undergraduate mathematics: axiological aspects. IEJME: Mathematics Education. 2019. Vol. 14. No. 2. - Pр. 363-373. https://doi.org/10.29333/iejme/5720 (accessed August 30, 2020).
- Fielding-Wells J. Dot plots and hat plots: supporting young students emerging understandings of distribution, center and variability through modeling. ZDM Mathematics Education. 2018. Vol. 50. P. 1125-1138. https://doi.org/10.1007/s11858-018-0961-1 (accessed August 31, 2020).
- Konold C., Harradine A., Kazak S. Understanding distributions by modeling them. International Journal of Computers for Mathematical Learning. 2007. Vol. 12(3). P. 217-230. https://doi.org/10.1007/s10758-007-9123-1 (accessed August 3, 2020).
- Pfannkuch M., Budgett S., Fewster R., Fitch M., Pattenwise S., Wild C., Ziedins I. Probability Modeling and Thinking: What Can We Learn from Practice? Statistics Education Research Journal. 2016. Vol. 15. № 2. P. 11-37. http://iase-web.org/documents/SERJ/SERJ15(2)_Pfannkuch.pdf (accessed August 13, 2020).
- Steel E.A., Liermann M., Guttorp P. Beyond Calculations: A Course in Statistical Thinking. The American Statistician. 2019. Vol. 73 (1). Pр. 392-401. https://doi.org/10.1080/00031305.2018.1505657 (accessed August 23, 2020).
- Роберт И.В. Теория и методика информатизации образования (психолого-педагогический и технологический аспекты). - М.: Институт информатизации образования, 2008. - 274 с. С. 13-14.
Дополнительные файлы
