Forming a conceptual understanding of mathematics at students of technical universities

Full Text

Введение Сегодня мы наблюдаем быстрое развитие техники и технологий, появле- ние новых профессий и исчезновение старых, постоянную смену требований к компетентности специалиста. В данных условиях перед профессиональным образованием встает задача не только идти в ногу со временем, но и предвос- хищать будущее. Таким образом, возрастает актуальность принципа фунда- ментальности образования. Как отмечал В.А. Садовничий, «фундаменталь- ность высшего образования - это соединение научного знания и процесса об- разования, дающее понимание образованным человеком того факта, что все мы живем по законам природы и общества, которые никому не дано игнори- ровать» [1]. Овладение фундаментальными знаниями, составляющими основу этих законов, является залогом устойчивого развития общества, поскольку главной причиной глобального кризиса является человек, недостаток его компетентности и культуры. В реализации принципа фундаментальности об- разования ключевая роль принадлежит концептуальному пониманию. Про- блема концептуального понимания изучаемого материала в процессе препо- давания математики актуальна в силу самой специфики данной науки, высо- кой абстрактности ее понятий. Являясь универсальным языком науки, мате- матика посредством математического моделирования позволяет проникать в суть изучаемого явления. Поэтому знание алгоритмов и формальное знание ее законов недостаточно современному специалисту для решения профессио- нальных задач, особенно для студентов технических, математических и IT- направлений. Применение компьютерного моделирования в учебном процес- се позволяет достичь необходимого баланса между теорией, экспериментом и вычислениями, что способствует концептуальному пониманию изучаемых дисциплин и формированию профессиональных компетенций будущих спе- циалистов [2]. Цель статьи - выявить и сформулировать сущностные характеристики и педагогические условия формирования концептуального понимания матема- тики, а также исследовать возможности интеграции компьютерного моделиро- вания как средства развития концептуального понимания в процессе обучения теории вероятностей студентов технических университетов, определить эффек- тивность разработанной системы заданий компьютерного практикума. Обзор литературы Следует отметить, что фундаментальность представляет собой важную традицию образования в России. По словам В.А. Садовничего, «в отличие от других наций мы сразу стали учиться научно мыслить и учить студенчество мыслить целостными, фундаментальными теориями и действовать в практике сообразно методам получения таких фундаментальных знаний. На этой осно- ве взросли наша академическая наука, университеты, общеобразовательная школа» [1]. Анализ публикаций последних лет [3-6] позволяет сделать вывод, что проблема фундаментализации как образования в целом, так и математи- ческого образования в школе и вузе является актуальной. В соответствии с мнением А.С. Воронина [7], понятие фундаментальность образования под- разумевает единство трех составляющих: 1) глубина, основательность и це- лостность системообразующего методологически значимого знания; 2) взаи- мосвязь теоретической и прикладной составляющих обучения; 3) развитие научного мышления и формирование общей культуры. Заметим, что ни одна из них не может быть реализована без формирования у студентов концепту- ального понимания. Заметим также, что большая часть работ, посвященных преподаванию мате- матики, в той или иной мере затрагивает и проблему понимания: ни один препо- даватель не ставит в качестве цели обучения уровень запоминания- воспроизведения. В соответствии с традицией при изучении математики такие исследователи, как Дж. Хиберт и П. Лефевр [8], А.Дж. Баруди, Ю. Фейл и А.Р. Джонсон [9], выделяют концептуальное и процессуальное знания (conceptual and procedural knowledge): понимание понятий и умение решать задачи. Исследова- ния Дж.П. Бирнса, Б. Риттл-Джонсона и М. Шнейдера показали, что эти два вида знания находятся в интерактивном взаимодействии [10-12]. Однако, по мнению Н. Крукса, в последние годы большее внимание уделяется концептуальному по- ниманию [13]. Среди статей российских авторов, касающихся вопросов сниже- ния формализма и повышения уровня понимания материала при изучении мате- матики, можно выделить работы А.Я. Хинчина [14], Э.К. Брейтгам и С.Д. Кара- козова [15], С.А. Владимирцевой [16], Е.В. Кузнецовой [17]. В преподавании теоретико-вероятностных разделов математики проблема концептуального понимания имеет ряд особенностей в силу того, что теория вероятностей занимает особое положение среди прочих дисциплин есте- ственно-научного цикла из-за некоторой двойственности. Двойственность ее заключается в том, что основные понятия теории вероятностей подчиняются строгой математической логике и в то же время могут быть рассмотрены как философские суждения. Действительно, глубокое погружение в данную дис- циплину невозможно без осмысления философской сущности таких важней- ших ее понятий, как случайность, возможность, вероятность, как и невоз- можно без формирования особого стиля мышления, приобретения опыта сто- хастического моделирования [18]. Компьютерный практикум позволяет обучающимся дополнить абстракт- ные представления о вероятностных распределениях четкими зрительными образами и осязаемым практическим опытом; в дальнейшем это сделает воз- можным эффективное вероятностное прогнозирование при решении творче- ских научно-исследовательских задач [19-22]. Материалы и методы Методологическую основу исследования составили системный и личностно-деятельностный подходы. Применение компьютерного модели- рования в учебном процессе организовано с учетом дидактических возмож- ностей ИКТ: интерактивный диалог; компьютерная визуализация учебной информации; компьютерное моделирование; хранение больших объемов ин- формации и обеспечение легкого доступа к ней; автоматизация процессов вычисления и информационно-поисковой деятельности; автоматизация про- цессов информационно-методического обеспечения, организационного управления учебной деятельностью и контроля результатов обучения [23, с. 13-14]. Разработка теоретического базиса и интеграция компьютерного моде- лирования в практику преподавания теории вероятностей основаны на анали- зе научной литературы, анализе и обобщении педагогического опыта и ре- зультатов педагогического эксперимента и изучении студенческих оценок. Результаты исследования Как подчеркивают в своей работе Crooks и Alibali, среди ученых нет единого подхода к определению понятия «концептуальное понимание в математике» [13]. Однако на основе изучения материалов статей можно выделить особенно- сти данного понятия. Прежде всего, к концептуальному пониманию в математи- ке относят комплексное функциональное понимание математических идей. Зна- ния студентов, для которых характерно концептуальное понимание, не ограни- чиваются отдельными фактами и алгоритмами. Они понимают, почему та или иная математическая идея важна и каковы ситуации, в которых она полезна. Они организовали свои знания в связное целое, что позволяет им изучать новые идеи, соединяя эти идеи с тем, что они уже знают. Поскольку факты и методы, изу- ченные с пониманием, связаны, их легче запомнить и использовать и они могут быть восстановлены, когда их забывают. Студенты, обладающие концептуальным пониманием математики: могут обосновать свои действия в ходе решения задачи или доказатель- ства теоремы; знают границы применимости, могут привести примеры и контрпримеры; гибко используют альтернативные подходы; умеют переходить в другие контексты; обладают способностью формировать различные представления объекта (формулы, графики, таблицы); могут придумать задачу, при решении которой применима данная тео- рема или правило. Для достижения концептуального понимания математики при обучении студентов вузов необходимы следующие педагогические условия: практическое, активное обучение, которое питает цикл восприятия- действия; соотнесение ранее освоенного материала с новыми идеями и проблемами; применение математики в различных формах, которые требуют творче- ского решения проблем, обучение навыку применять понятия к совершенно новым ситуациям; формирование множества ключевых, методологически значимых поня- тий и идей; акцент на идеях, а не на алгоритмах. В работе [16] выделяется два способа формирования математических по- нятий: классификационно-операционный и актуализированный (онтологиче- ский). В первом способе понятие вводится через род и видовые различия, при этом основными действиями являются выявление существенных признаков и классификация. Второй способ предполагает создание образа понятия по- средством различных форм представления знания. Классификационно- операционный способ формирования понятий эффективен для наук о приро- де, таких как химия, физика, биология. Актуализированный способ формиро- вания понятий эффективен для абстрактных и базовых дисциплин. Примером таких понятий могут служить основные понятия вероятност- ных разделов математики. На основе изучения научных исследований по фи- лософии и истории теории вероятностей были сформулированы системы ключевых понятий [18]. Для теории вероятностей это случайность, вероят- ность, случайное событие, случайная величина, вероятностные распределе- ния, числовые характеристики случайных величин, совместные распределе- ния случайных величин, независимость, корреляция. Для математической статистики ключевыми понятиями являются такие понятия, как выборка, ге- неральная совокупность, параметр распределения, оценка параметра распре- деления, несмещенность, состоятельность оценок, доверительный интервал, гипотеза, статистический вывод. Формированию систем ключевых понятий должно уделяться повышенное внимание, поскольку это создает базис кон- цептуального понимания вероятностных методов и идей. Как показала практика, компьютерное моделирование является эффек- тивным инструментом формирования понятий теории вероятностей при условии реализации комплексного использования ИКТ в учебном процессе с учетом всего спектра их дидактических возможностей, раскрытых в работе И.В. Роберт [23, c. 13-14]. Нами разработаны системы заданий для изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которые позволяют студентам создать образ изучаемого понятия, выявить его харак- теристики и свойства. Цель практикума - дать возможность студентам при- обрести опыт работы с моделями объектов, имеющих вероятностную приро- ду, понять сущность теоретических положений, приобрести навыки вероят- ностного моделирования и компьютерного анализа данных. Например, в курсе теории вероятностей важное место для концептуаль- ного понимания предмета и практического применения принадлежит теме «Предельные теоремы» и, в частности, изучению центральной предельной теоремы Ляпунова. В центральной предельной теореме утверждается, что ес- ли случайная величина представляет собой сумму очень большого числа вза- имно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то закон распределения такой величины будет близок к нормальному. Таким образом, центральная предельная теорема аккумули- рует такие ключевые понятия теории вероятностей, как случайная величина, законы распределения, числовые характеристики случайных величин. В це- лях активного понимания, запоминания и закрепления материала студентам предлагается пройти три этапа выполнения задания. На первом этапе обучающиеся генерируют в любом подходящем матема- тическом пакете (Statistica, Excel, R и т. д.) 10 столбцов х1, ..., х10 по 100 слу- чайных чисел, имеющих одно из трех распределений - нормальное N(a, σ), экспоненциальное E(λ) или равномерное U(a, b) на отрезке [a, b]. В процессе выполнения задания студентам предлагается сформулировать сущность таких ключевых понятий, как случайная величина, вероятностное распределение, числовые характеристики случайной величины, а также вспомнить свойства основных вероятностных распределений и способы генерирования случай- ных величин в различных программных средах. Отметим, что это все студен- ты уже изучали ранее. Акцент на ключевых понятиях в разных контекстах способствует переходу информации из кратковременной в долговременную память (консолидация материала) и в то же время позволяет сформировать связи между важнейшими положениями дисциплины. На втором этапе задания вычисляются суммы y1  x1 , y2  y1  x2 , … y10  y9  x10 , каждая из которых представляет собой столбец из 100 чисел. Наконец, на третьем этапе студенты строят гистограммы для сумм y1 , …, y10 , анализируют полученные графики и на практике убеждаются в справедливости центральной предельной теоремы: при увеличении количе- ства слагаемых закон распределения суммы приближается к нормальному. Кроме этого, студентам предлагается сделать вывод о влиянии выбора закона распределения на вид получаемых гистограмм. На рисунке выборочно представлены гистограммы для сумм y1 , y5 , y8 , y10 и соответствующие нормальные кривые. В рассматриваемом примере для генерации случайных чисел x1 , …, x10 было выбрано равномерное распределение. На рисунке а приведена гистограмма для переменной y1 , которая соответствует равномерному распределению. Сравнив графики, легко убедиться, что гистограммы на рисунках b-d (суммы y5 , y8 , y10 соответственно) становятся все ближе и ближе к нормальному распределению. Графическая иллюстрация третьего этапа лабораторной работы Третий этап особенно важен, так как позволяет студентам сопоставить ключевым понятиям графические образы, что влечет за собой углубление за- поминания и позволяет формировать различные представления изучаемого объекта. Образная форма передачи информации, сочетающаяся с вербальной, играет одну из основных ролей в формировании концептуального понимания. Далее, в процессе выполнения лабораторной работы студентам предлага- ется выявить и сформулировать связь центральной предельной теоремы с изученной ранее теоремой Муавра - Лапласа, которая, по сути, также пред- ставляет собой один из вариантов закона больших чисел. Таким образом, при правильно подобранной последовательности заданий и лабораторных работ одно и то же понятие либо утверждение освещается и иллюстрируется при- мерами с разных сторон, что способствует пониманию и запоминанию как самих ключевых понятий, так и связей между ними, что приводит к более полному и осмысленному пониманию предмета. Для проверки эффективности разработанной системы заданий был прове- ден педагогический эксперимент, в котором принимали участие две группы студентов из 18 и 16 человек, изучавших теорию вероятностей в одном пото- ке. В первой группе (экспериментальной) учебным планом помимо лекций и практических занятий был предусмотрен компьютерный практикум. Во вто- рой группе (контрольной) предусмотрены только лекции и практические за- нятия. В следующем семестре в процессе изучения дисциплины «Экономет- рика» рассматривались свойства оценок параметров линейной регрессии, по- лученных по методу наименьших квадратов, и условия проверки статистиче- ских гипотез о значимости коэффициентов регрессии. В экспериментальной группе 14 человек (77 %) смогли сформулировать сущность центральной предельной теоремы, в контрольной группе - 6 человек (38 %). Применить центральную предельную теорему в новом контексте смогли 5 человек в пер- вой группе (28 %) и 2 человека во второй группе (12 %). Таким образом, в экспериментальной группе студенты демонстрируют более высокий уро- вень концептуального понимания, чем в контрольной. Обсуждение и заключение В связи с математизацией и интеграцией научного знания проблема кон- цептуального понимания математики приобретает особую актуальность, по- скольку концептуальное понимание в математике - это создание надежной структуры, представляющей многочисленные и переплетенные отношения между математическими идеями, паттернами и процедурами. Эта структура может использоваться для последовательной интеграции новых знаний и решения незнакомых проблем как при обучении в вузе, так и в будущей профессиональной деятельности. Выявленные и сформулированные сущ- ностные характеристики и педагогические условия развития концептуального понимания создают теоретическую основу для планирования практических шагов по формированию этого важного качества в процессе преподавания математики и разработки оценочных инструментов, позволяющих оценить уровни его сформированности у студентов. Примером подобных шагов может служить интеграция компьютерного моделирования в процесс преподавания курса теории вероятностей, основан- ная на комплексном применении ИКТ как средства обучения и инструмента познания. Педагогический эксперимент показал, что компьютерный практи- кум, построенный с учетом сформулированных педагогических условий формирования концептуального понимания математики и с учетом дидакти- ческих возможностей ИКТ, является эффективным средством развития кон- цептуального понимания теоретико-вероятностных идей и методов, посколь- ку позволяет студентам организовывать свое знание системно и применять его в новых ситуациях.

About the authors

Elena V. Kuznetsova

Lipetsk State Technical University

Email: eva351@yandex.ru
Cand. Phys.-Math. Sci., Associate Professor of Applied Mathematics Department. 30, Moskovskaya St., Lipetsk, 398600, Russian Federation

Natalia Yu. Zhbanova

Lipetsk State Technical University

Email: zbanoid@gmail.com
Cand.Tech.Sci., Associate Professor of Applied Mathematics Department. 30, Moskovskaya St., Lipetsk, 398600, Russian Federation

References