Activation of educational activities of schoolchildren under the development of mathematical methods of knowledge

Full Text

Введение Спецификой современных уроков считается использование учителем в процессе обучения инновационных технологий, которые делают урок богаче, образнее, ярче. Это способствует лучшему запоминанию материала, оказывает эмоциональное воздействие на учащихся. Эффективными методами, в частности при обучении математике, являются метод математического моделирования, обу- чение «по образцам», эвристический метод, самостоятельная работа, внеклассная работа, так как они способствуют лучшему запоминанию материала, оказывают эмоциональное воздействие на учащихся. Эти методы особенно актуализирова- лись после внедрения в общеобразовательную школу новых федеральных госу- дарственных образовательных стандартов, в соответствии с которыми одной из главных задач общеобразовательной школы выступает не только овладение обучающимися определенным объемом академических знаний, но и формирова- ние у них познавательных потребностей и интересов, воспитание творческого от- ношения к учебно-познавательному процессу, развитие навыков к самостоятель- ной творческой деятельности, направленной на обогащение знаний и умений. Обзор литературы Наиболее характерным примером математического моделирования, рас- крывающим содержание понятий в курсе алгебры VI-VIII классов, являются «графы», иллюстрирующие такие понятия, как «функция», «обратимая функ- ция», «обратная функция». Теория графов, которая характеризуется нагляд- ностью, по мнению некоторых ученых (М.И. Бекоева, Б.К. Дураков, А.С. Кащенко, Е.М. Ложкина, Н.Д. Подуфалов, E.W. Gravina и др.), позволяет абстрагироваться от несущественных свойств рассматриваемых объектов и концентрировать внимание на их характерных, существенных признаках [1; 3; 4]. С помощью графов можно заменять реальные объекты их знаковым изображением (И.В. Кисельников, И.С. Недосекина, Л.Р. Ким-Тян) [5; 6]; мо- делировать различные отношения между изучаемыми объектами (Т.В. Завьялова, Е.Л. Плужникова, А.С. Кащенко) [7; 8]; создавать занима- тельную игровую ситуацию, имеющую дидактическую направленность (Stefanutti L., de Chiusole D.) [9]. Использование таких моделей наиболее эффективно при формировании понятий, подготовке к формализации, введении определений. Как показывает опыт (Б.Е. Фишман, Н.В. Эйрих), удачное использование моделирования в период формирования понятий позволяет так организовать обучение, что учащиеся фактически сами приходят к нужному определению, а учителю остается лишь довести его до логически правильной формы [10]. Не менее эффективным методом обучения математике является модели- рование приемов доказательства теорем, решения задач (Griggs V., Holden R., Lawless A., Rae J., Yusupova Z.F., Shakurova M.M., Saygushev N.Y., Veden- eyeva O.A., Kashina S.G.), то есть показ общего способа рассуждений на конкретных примерах [11; 12]. Нужно сказать, что именно применение этого методического приема во многом способствует доступности курса ма- тематики в целом [13; 14], раз введенные модели систематически использу- ются в дальнейшем обучении. С помощью координатной прямой находится множество решений систем неравенств с одной переменной, с помощью ко- ординатной плоскости - множество точек, изображающих множество реше- ний системы неравенств с двумя переменными [15; 16; 17]. Особо важную роль играют графики отношений. С их помощью учащиеся находят множе- ства решений уравнений или неравенств с одной переменной (А.М. Касумова, О.В. Шабашова), множество решений систем уравнений с двумя переменны- ми [18; 19]. Графические иллюстрации используются для выяснения условий (В.М. Туркина), при которых уравнение или система уравнений не имеет ре- шения, они же позволяют определить число решений и т. д. [20]. Материалы и методы При выборе методов работы с учащимися, особенно в начале учебного года, очень важно знать, каковы их возможности, знания, умение восприни- мать новый материал, темп работы и другие характеристики. Поэтому в тече- ние первых двух недель рекомендуется провести небольшие тематические работы по ранее изученному материалу, например: в IV классе - на порядок действий, таблицу умножения, в VI классе - на порядок действий, приведе- ние подобных слагаемых, в IX классе - на тригонометрические функции и т. д. На основании полученных данных составляется план повторения мате- риала со всем классом и индивидуальные задания для отдельных учащихся. Результаты исследования Математические модели позволяют отказаться от механического приме- нения большого числа формулировок, добиться сознательного усвоения материала. Так, например, решение неравенств вида ax2 bxc  0основывалось на запоминании большого числа правил для различных случаев (квад- ратный трехчлен не имеет корней, имеет два равных корня, имеет два раз- личных корня). Теперь подход к решению таких неравенств принципиально изменен. Их проще решить с помощью графика квадратного трехчлена. Это позволяет значительно быстрее определить множество решений квадратного неравенства. Приведем примеры моделирования общих приемов рассуждений из курса алгебры VI-VIII классов. В результате изучения темы «Квадратные корни» учащиеся должны овладеть методом доказательства на основе определения арифметического квадратного корня. Так, доказательство теоремы об арифметическом квадратном корне из произведения двух неотрицательных множителей, image ab  image a b , где a  0;b  0 , проводится следующим образом: значение произведения image a b неотрицательно, так как image a  0; image b  0; image  a image b 2   image a 2  b 2  ab . Значит, на основании определения арифметического квадратного корня равенство image ab  image a b верно при любых a  0;b  0 . Это рассуждение, которое носит сугубо абстрактный характер, становится ясным для учащихся и даже доступным для самостоятельного проведения, если предварительно оно было «смоделировано» на простейших примерах типа: 1) докажите, что арифметический квадратный корень из 9 равен 3; 2) докажите, что верно равенство image 16  4 . Еще один пример моделирования общего приема рассуждений. При изучении темы «Квадратные уравнения» определенную трудность представляет вывод формулы корней. В то же время понимание идеи доказательства представляется важным с точки зрения общего образования. Задача учителя облегчается, если выводу формулы корней квадратного уравнения предшествует рассмотрение ряда конкретных примеров, на которых воспроизводится этот вывод. Нередко используется обучение «по образцам». Деятельность учеников при этом сводится к прямому воспроизведению изученного. Обычно этот ме- тод применяют при обучении тому или иному алгоритму. При выполнении самостоятельной работы учащиеся могут пользоваться справочниками, обра- щаться за помощью к учителю, что усиливает обучающий характер этой формы проверки знаний. Система самостоятельных работ позволила более оперативно устанавливать обратную связь «ученик - учитель» при изучении курса и вносить необходимые изменения в процесс обучения в соответствии с полученными данными. Контрольные работы осуществляют контролирую- щую и оценивающую функции проверки. Эти работы связаны с программой и учебниками и даются после изучения законченного раздела, рассчитанного примерно на 8-10 уроков. Работы составляются в нескольких вариантах, оди- наковых по сложности, что позволяет унифицировать требования к учащим- ся. К достоинствам рекомендуемых в дидактических материалах контроль- ных работ следует отнести существенное изменение содержания контроль- ных заданий в соответствии с расширением и усложнением программ по обу- чению математике. Каждое задание направлено на проверку усвоения от- дельного элемента знания, овладение которым - необходимое условие успешности дальнейшего обучения. Приведем типичный пример. Введена формула корней квадратного уравнения и рассматривается ее применение в конкретном случае. Таким образом, учащиеся получают не только образец вычислений, но и образец оформления решения. Аналогично поступают при обучении тождественным преобразованиям с использованием формул сокращенного умножения, свойств степени, при обучении решению задач, вычислениям с таблицами и т. д. Простое воспроизведение, по мнению некоторых ученых (Е.Н. Сачкова, И.А. Чиркова, А.В. Шевкин), является лишь первым этапом усвоения материала [21; 22]. Однако этот этап создает необходимые предпосылки для сознательного и глубокого усвоения учебного материала (Florea N.M., Hurjui E.), для развития инициативы и творчества школьников [23]. В некоторых учебниках упражнения к пунктам составлены так, что даже при простом воспроизведении материала учащиеся проявляют некоторое творчество (применять правила, формулы, алгоритмы приходится в разнообразных ситуациях). Приведем несколько примеров. В IV классе при изучении умножения предлагаются задания: Запишите в виде произведения сумму семи слагаемых, каждое из кото- рых равно 1. Представьте произведение 712*3 в виде суммы. Представьте произведение image 7 *4 100 в виде суммы. Найдите значение выражения 615 61 615125125. Представьте в виде произведения двух равных множителей число 121. Разложите всеми способами число 12 на два множителя. Решите уравнение y* y  64. Докажите неравенство 600  23*35  1200 . В VI классе при изучении формулы a2 b2  (a b)(a -b) предлагаются задания: представьте выражение 4- p2 в виде произведения суммы и разности; найдите значение выражения 872 -132 ; сократите дробь 532 - 272 image ; разложите на множители 792 - 512 а100 - 4 ; представьте в виде произведения трех множителей разность х 3 - х ; приведите уравнение х2 -1  0 к виду ( х  а )( х - а )  0 и найдите его корни; докажите, что при любом целом n значение выражения (4 n  1) 2 - ( n  4 ) 2 делится на 15. Разнообразие заданий позволяет активизировать мыслительную деятель- ность учащихся, повышает интерес к изучаемому материалу (Aksu G., Koruklu N., Welling H.), способствует созданию у учащихся прочных навыков выполнения преобразований [24; 25]. При обучении математике учащиеся часто получают новые знания не в готовом виде, а как результат индивиду- ального или коллективного поиска, организуемого учителем. Школьники становятся активными участниками процесса познания. При таком сообщении материала часто используется эвристический ме- тод, которым пользуются при доказательстве теорем, выводе формул, обучении решению задач. Преимущество эвристического метода состоит в том, что он в большей степени позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся и контролировать правильность восприятия материала ими. Однако в процессе реализации эвристического метода несколько утрачивается це- лостность изложения и восприятия. Поэтому нередко беседа заканчивается подведением учителем итогов урока, обобщением изложенного. При реализации эвристического метода немаловажное значение имеет четкая постановка проблемы и ориентация в направлении поиска. Подтвер- дим эту мысль на примере. Учитель хочет познакомить учащихся с методом решения уравнений, приводимых к квадратным. Перед учащимися ставится задача - решить уравнение (х2 -5х)2 -30(х2 -5х) - 216 0 . Обычно, если нет дополнительных указаний, школьники преобразовывают левую часть уравне- ния в многочлен стандартного вида. В результате получают уравнение х 4 - 10 х 3 - 5 х 2  150 х - 216  0, способ решения которого неизвестен. Учитель отмечает, что выбранный путь оказался неудачным. Нельзя ли воспользо- ваться для решения заданного уравнения формулой корней квадратного уравнения? Выясняется особенность структуры этого уравнения, можно ли ее использовать для решения уравнения. Так перед учащимися открывается но- вый способ решения уравнения - приведение его к квадратному виду путем введения вспомогательной переменной. В заключительной части урока учи- тель отмечает особенности нового метода и возможности его применения. В связи с выдвинутой перед школой задачей - научить учащихся учиться, приобретать знания на основе самостоятельной работы, при которой особое значение имеет обучение работать с учебником, самостоятельно читать учеб- ник и дополнительную литературу, использовать электронные ресурсы и т. д. - при планировании уроков должны продумываться виды работы с учебником, пути воспитания культуры работы с книгой, с различными ис- точниками получения учебного материала. Работа с учебником в IV классе начинается с ознакомления школьников с оглавлением, со справочными таб- лицами в конце учебника, и в дальнейшем они должны систематически ими пользоваться. Важно, чтобы ученики умели пользоваться и предметным ука- зателем. Показываются им и дополнительные разделы учебника из истории арифметики, алгебры, задачи повышенной трудности. Обращение к учебнику происходит уже при проверке домашнего задания. Если ученик допустил ошибку, ему рекомендуется найти и прочесть соответствующее правило. При подготовке к изучению нового материала учащиеся по указанию учителя до- ма или на уроке по учебнику повторяют нужный материал. Так, например, прежде чем изучать распределительный закон умножения, четвероклассникам рекомендуется самим прочесть правило умножения чисел и выполнить упражнение. Самостоятельное изучение материала в классе или дома проводится уже с IV класса. Проведению этой работы способствует доступное изложение мате- риала в учебниках математики IV-V классов. Для самостоятельного чтения выделяются небольшие разделы теории, например: свойства сложения целых чи- сел, приведение подобных слагаемых, фигуры, имеющие ось симметрии. На первых этапах самостоятельного изучения школьниками материала на уроке це- лесообразно подготовить вопросы, обращающие их внимание на наиболее суще- ственное в этом материале. Эти вопросы могут быть записаны на доске, показа- ны на экране через проектор и т. д. Позже им предлагается составить план про- читанного, ответить на вопросы, решить задачу. Зная задание, ученики, работая над текстом, осуществляют определенную поисковую деятельность. Аналогич- ные задания учащиеся получают и в последующих классах. В конце каждого урока учитель, как правило, указывает, что нужно знать по учебнику, а что до- статочно прочесть. Иногда учащимся предлагается придумать примеры, анало- гичные предложенным в учебнике или на уроке. Самостоятельное чтение учебника используется и в VI-VIII классах. Стандартные учебники алгебры для VI-VIII классов написаны с расчетом на такую форму работы: теоретический материал дается небольшими порциями, язык изложения краток, четок, доступен. Для самостоятельного изучения мо- жет быть использован различный материал - вывод какой-то формулы, вве- дение нового понятия, некоторые алгоритмы и т. д. Как правило, самостоя- тельное изучение материала специально готовится, а понимание его учащи- мися проверяется. При этом совершенно необходима обратная связь. В неко- торых случаях учитель, после того как учащиеся самостоятельно разберут текст, предлагает им пересказать его или составить план ответа. В других случаях понимание материала проверяется при фронтальном опросе. Иногда ученикам предлагается упражнение на применение разобранной теоремы с подробным обоснованием. В учебниках геометрии для VI-VIII классов также имеется материал для са- мостоятельного чтения, например: язык теории множеств в геометрии, пересече- ние и объединение фигур, измерение углов, расстояние от точки до прямой, сумма внутренних и сумма внешних углов выпуклого многоугольника (VI класс), свой- ства ромба, квадрата, площадь треугольника и трапеции (VII класс), выражение стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности, пло- щадь правильного многоугольника, длина окружности и площадь круга (VIII класс). В IX-X классах учащимся для самостоятельного изучения могут быть предложены такие вопросы, как направление в пространстве, сложение векторов, расстояние от точки до плоскости (IX класс), исторический очерк (X класс), само- стоятельное доказательство некоторых теорем по геометрии (IX и X классы). Ис- пользуется и другая форма работы. Отдельным учащимся предлагается сделать сообщение на уроке по новому материалу. Это может быть как относительно про- стой материал (единственность предела, периодические дроби), так и достаточно трудный, предлагаемый только некоторым учащимся (вывод формулы синуса суммы двух углов). Одна из форм самостоятельной работы - организация поисковой, иссле- довательской деятельности учащихся при решении нестандартных задач (О.В. Шабашова) [19]. Она может занимать на уроке различное время (в некоторых случаях и весь урок). Время, выделяемое на самостоятельную исследовательскую работу, зависит от возраста учащихся, их подготовленно- сти, изучаемого материала. Цель исследовательской деятельности при реше- нии нестандартных задач может быть различной - формирование у учащихся способности к исследовательской деятельности, подготовка к осмыслению нового, обобщение ранее изученного. Но во всех случаях существенную роль играет сама система задач, составленная с учетом организации исследова- тельской деятельности учащихся. Развитию творческих способностей учащихся, возбуждению интереса к учению способствует и такая система работы, при которой доказательству ряда фактов предшествуют наблюдения, на основе которых выводятся общие зако- номерности, высказываются гипотезы. Причем эти гипотезы формулируют сами школьники. Приведем несколько примеров таких творческих заданий: Начертите развертку правильной треугольной пирамиды, площадь ос- нования которой 5см2 , а объем - 10см 3 . Решите уравнение sin 2 x  cos 2 x  1 . sin 2 x  cos 2 x  0,5, используя тождество Перед рассмотрением производной функции cosх учащимся предлага- ется найти производные функций: f (x)  3x; g (x)  sin( 3x  4). Учащиеся, зная формулу производной функции sin x , выполняют первые два задания. А как найти производную функцию cos x ? Здесь же возникает предложение постараться функцию косинус задать формулой, которая будет image содержать функцию синус: f (x)  cos x  sin(  - x) . 2 Большие возможности для развития творческой активности учащихся имеются и при изучении другого материала, например при изучении формул приведения (Е.А. Баракова, А.М. Касумова), соотношения между тригоно- метрическими функциями одного и того же аргумента, правил нахождения первообразных и др. [6; 18]. Остановимся подробнее на последнем из названных вопросов. На преды- дущих уроках учащиеся научились доказывать, что некоторая функция явля- ется первообразной для данной, и находить первообразные для некоторых функций. Они могут найти первообразные таких функций, как f (x)  x2 ; g ( x)  cos x; h(x)  x2  cosx. Для первой и второй функций первообразные находятся по ранее выве- денным правилам. В последнем задании ученики могут догадаться, что одной image 3 из первообразных будет функция H (x)  x sin x, а затем доказать, что 3 H (x)  x 3 image sin x - первообразная для функции h(x) . Возникает гипотеза, что 3 H (x)  F (x)  G(x), если F (x)  f (x);G(x)  g(x); H (x)  f (x)  g(x).Высказанное предположение доказывается непосредственным применением опре- деления первообразной. Творческая, исследовательская деятельность находит применение и при решении задач. Причем новое содержание курса, система задач, представлен- ная в учебниках, методических пособиях к ним и дидактических материалах, ориентируют учителя на большее внимание к этому виду деятельности. При решении задач, требующих нестандартных решений, школьники проявляют определенную «смекалку», «подвижность» мышления. В методических ука- заниях внимание учителя обращается на постепенное, «ненавязчивое» вклю- чение всех учащихся в решение задач, отмечается, что решения этих задач не должны «разучиваться» в классе. Дальнейшее развитие творческая деятельность получает во внеклассной работе и элективных курсах. В новом для обучающихся формате учитель не- редко выясняет темп работы учащихся. С этой целью проводятся небольшие самостоятельные работы (на 10-15 минут). Проверяется и восприятие школь- никами объяснения нового материала на элективных курсах. Иногда для это- го сразу же после объяснения проводится опрос, иногда дается самостоятель- ная работа. Результаты таких проверок дают богатый и разносторонний мате- риал о знаниях и умениях школьников, помогают учителю планировать уро- ки, методы и формы обучения, индивидуальную работу с учащимися. Вместе с тем анализ полученных результатов может много сказать и самому учите- лю. Они могут быть сигналом о необходимости совершенствовать методику изложения материала, увеличить иллюстративный материал, более широко использовать технические средства обучения. Обсуждение и заключение На активизацию учебно-познавательной деятельности обучающихся су- щественное влияние оказывают расширение целей обучения, обогащение со- держания учебных дисциплин, использование разнообразных приемов при овладении математическими методами познания. Существенное влияние на этот важный элемент процесса обучения оказывает и четкое выделение ре- зультатов обучения после изучения пункта, параграфа, главы, курса в целом. Эти требования отражены в образовательной программе, детализированы в методических пособиях. При определении тех или иных методов активиза- ции учебно-познавательной деятельности при обучении математике необхо- димо прежде всего приучать обучающихся к строгой логичности математического мышления, развивать способности к обобщению, анализу, абстрагиро- ванию, стремиться к продуктивному результату с учетом индивидуальных особенностей и возможностей обучающихся. При этом от обучающихся тре- буется не только понять, запомнить и воспроизвести полученные знания, но и уметь ими оперировать, применять их в решении практических задач, ведь степень продуктивности обучения во многом зависит от уровня активности учебно-познавательной деятельности учащегося.

About the authors

Marina I. Bekoeva

North Ossetian State University named after K.L. Khetagurova

Email: bekoevamarina@mail.ru
Cand. Ped. Sci., Associate Professor of Pedagogy and Psychology Department. 46, Vatutina st., Vladikavkaz, 362025, Russian Federation

References

Supplementary files