Профессионально направленный аспект изучения раздела «линейная алгебра» при подготовке специалистов экономического профиля

Аннотация

Показана необходимость формирования математической компетенции студентов экономических специальностей в соответствии с их квалификацией. Обосновано практическое использование элементов линейной алгебры для решения экономических задач.

Полный текст

Новые требования к выпускникам вузов влекут за собой изменения в системе образования: создаются новые государственные стандарты, изме- няются программы обучения, вводится понятие компетентности специалиста. Основной задачей инженерного образования становится формирование у сту- дентов не только определенных знаний, умений и навыков, но и особых ком- петенций, сфокусированных на способности применения этих знаний, уме- ний и навыков в будущей профессиональной деятельности [1]. Таким обра- зом, можно говорить о том, что требование профессиональной направленно- сти учебно-воспитательного процесса становится основополагающим для каждой преподаваемой в вузе учебной дисциплины. Математика - основа технического образования, и в практической деятельности инженера призва- на решать профессиональные задачи. Поэтому очевидно, что математическую подготовку в техническом университете следует направлять в русло форми- рования математической компетенции у студентов, и рационально делать это на профессионально ориентированных примерах. От качества математиче- ской подготовки в наибольшей степени зависит уровень сформированности профессиональной компетентности будущего специалиста [2]. А значит, ма- тематика должна преподаваться не как изолированная, обособленная дисци- плина, она должна быть содержательной относительно ее прикладной значи- мости и профессиональной направленности. Иными словами, содержание ма- тематической подготовки студентов должно быть сформировано в соответ- ствии с квалификацией будущего специалиста, в частности специалиста эко- номического профиля. Поэтому основная цель изучения курса высшей мате- матики в техническом университете - это подготовка пласта знаний для изу- чения в дальнейшем спецпредметов и решения профессиональных задач в соответствии с каждой отдельно взятой специальностью. Начиная с первых занятий необходима тесная дидактическая междисциплинарная связь. К со- жалению, стоит констатировать тот факт, что при имеющийся на кафедре значительной методической базе пока эта связь слаба и преемственности дисциплин практически не существует. А знания студентов, не закрепленные устойчивой мотивацией, связанной с их будущей профессиональной деятельно- стью, как правило, имеют плохую сохраняемость. Необходима убедительная де- монстрация «полезности» овладения учебным материалом на лекциях, практи- ческих, лабораторных занятиях, при самостоятельной работе студентов, а также в методических указаниях и учебных пособиях к этим занятиям [3]. Учитывая направление специальностей экономического профиля, можно утверждать, что задачей изучения раздела математики «линейная алгебра» является формирование у студентов соответствующих знаний, практических умений и навыков применения методов линейной алгебры и математического аппарата, связанного с ней, при решении практических задач. Изучение раз- дела «линейная алгебра» имеет чрезвычайное значение для студентов эконо- мических специальностей. Это связано с тем, что значительная часть матема- тических моделей экономических процессов и объектов, а также представле- ние различных совокупностей числовых данных записывается в достаточно компактной и простой матричной форме, что является эффективным, а глав- ное, удобным способом систематизации различной информации (например, это могут быть различные статистические расчеты, сведения об объеме про- изводимой продукции, затратах сырья, трудовых ресурсов, рабочего времени, производительности труда на различных объектах производства и т. д.). Кро- ме того, это позволяет упростить и облегчить процесс поиска того или иного решения поставленной задачи, делая основные выкладки и результаты ком- пактными, более наглядными и легко обозримыми. Например, рассмотрим соотношения между секторами экономики (табл. 1). Данная таблица может быть записана в виде матрицы: В ней, например, элемент показывает, сколько расходных ма- териалов потребляет химическая промышленность, элемент - сколько трудовых ресурсов необходимо деревообрабатывающей промыш- ленности, а элемент - сколько электроэнергии потребляет метал- лургия. Соотношения между секторами экономики Таблица 1 Показатель Химическаяпромышленность Металлургия Деревообрабатывающаяпромышленность Энергетическиересурсы 1500 1700 1800 Расходныематериалы 2000 3100 700 Трудовыересурсы 1500 1600 3000 Зачастую даже простейшие экономические задачи требуют от инженера- экономиста громоздких вычислений. Решение многих таких задач, связан- ных, например, с расчетами норм расхода или потребления сырья для какого- либо предприятия, объемов выпускаемой продукции за определенный отчет- ный период, расходов на транспортировку готовой продукции, с оптимизаци- ей перевозок и т. д., можно осуществить, используя математический аппарат линейной алгебры. Рассмотрим примеры экономических задач, при решении которых ис- пользуются элементы линейной алгебры. Пример 1. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей А= . Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В= . Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц третьего вида? [4] Решение. Чтобы определить стоимость сырья для производства единицы продукции каждого вида, следует умножить матрицу стоимости единицы сы- рья В на матрицу норм затрат сырья А: С = В · А = = . Пусть матрица D = задает объемы производства продукции, тогда суммарные затраты на производство продукции равны произведению матри- цы С на матрицу D: С · D = · = 35 · 100 + 55 · 200 + 90 · 150 = 28000. Ответ: 28000 усл. ед. Пример 2. Рассмотрим четырехсекторное описание экономики, в котором выделены две отрасли: сельское хозяйство и промышленность; один первич- ный фактор труда и государственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. Государственный сектор ничего не произ- водит для экономики, и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в других секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое количество продукции другой отрасли, а также труд. Рабочая сила нуждается в продукции обеих отраслей и наряду с этим в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно импортированы и экспортируемы. Таким образом, никогда не мо- жет быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в течение всего периода. Наблюдая за потоками продукции между четырьмя секторами эко- номики, составим таблицу «Затраты - выпуск» (табл. 2). Затраты - выпуск Таблица 2 Производственныйсектор Потребляющий сектор С/х Промышленность Трудовыересурсы Госсектор(конечный спрос) Всего Сельское хозяйство(с/х), т 500 300 1300 500 2600 Промышленность,число машин 800 700 600 900 3000 Трудовые ресурсы,число занятых 800 1600 600 600 3600 Сумма показателей в строках дает общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Сумма показателей по столбцам показывает за- траты данного сектора, необходимые для производства всего объема продук- ции, следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Например, первый столбец характеризует основной произ- водственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 2600 т продукции сельского хозяйства требуется 500 т сельскохозяйственной продукции, 800 машин и 800 работников. Определить валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом Y = . Решение. Пусть - валовый выпуск продукции i = 1, 2, 3; - конечный спрос на продукцию i, i = 1, 2, 3. Валовый выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс ко- нечный спрос на эту продукцию, т. е. , i , (1) где - количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. Предположим, что цены относительно стабильны и технология меняется медленно, тогда если государственный сектор предполагает потребить 1000 т продукции сельского хозяйства, 1200 машин и нанять 800 человек в следую- щем периоде, то определим, каковы должны быть трудовые ресурсы и уровни выпусков продукции в каждом производственном секторе. Нужно найти эле- менты матрицы X по заданным элементам матрицы Y. Перепишем уравнение (1) в матричном виде: X - AX=Y, или (E - A)X=Y, (2) где X, Y - матрицы-столбцы, A - матрица коэффициентов прямых затрат; все элементы неотрицательны. Чтобы найти матрицу X, умножим обе части уравнения (2) на обратную матрицу (E - A)-1 слева. Тогда получим: X = (E - A)-1Y. Таким образом, для того чтобы найти валовый выпуск продукции, необ- ходимо найти обратную матрицу (E - A)-1, предварительно определив эле- менты матрицы A, воспользовавшись предположением о пропорционально- сти зависимости между затратами и объемами производства, т. е. линейными однородными функциями производственных затрат: . Тогда , и элементы A равны Элементы матрицы A удовлетворяют условиям: норма матрицы = Значит, матрица A является продуктивной и для нее выполняется теорема Фробениуса - Перрона: «Все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы, а наибольшее собственное значение положительно» [5]. Элементы матрицы (E - A) равны Вычислим определитель матрицы (E - A): Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы (E - A): и так далее. Составим присоединенную матрицу C из алгебраических дополнений, причем алгебраические дополнения строк запишем в столбцы: Умножая матрицу C на множитель, равный обратной величине определи- теля ∆, получаем обратную матрицу: Уровень производства сельского хозяйства и промышленности, необхо- димой численности работников определим, вычислив произведение матрицы на матрицу Y= Ответ: таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести 6056 т продукции сельского хозяйства, 5452 машин и нанять примерно 6690 работников [4]. Пример 3. Найти расчетные объемы работ (число часов использования оборудования), которые окупят затраты на эксплуатацию. Расценки на прове- дение соответствующих работ указаны в табл. 3. Расценки на проведение работ Таблица 3 Виды работ Нормативы по видам оборудования (число часов) Полные затратына эксплуатацию Механическое Тепловое Энергетическое Техническоеобслуживание 3 1 4 85 Текущие услуги 2 2 3 82 Капитальныйремонт 10 20 15 580 Решение. Пусть - количество часов использования механического оборудования, - теплового, - энергетического. Тогда в соответствии с расценками на проведение соответствующих работ запишем систему: Составим расширенную матрицу полученной системы уравнений, решим ее методом Гаусса: Получим систему, равносильную данной: Находим Ответ: таким образом, для того чтобы окупились затраты на эксплуата- цию при данных расценках, необходимо 12 ч для механического оборудова- ния, 17 ч для теплового и 8 ч для энергетического. Итак, приведенные примеры показывают, что знание элементов линейной алгебры - умение оперировать матрицами, выполнять различные действия с ними, рассматривать и находить обратные матрицы, вычислять как вспомога- тельное средство определители, решать различными способами системы линейных уравнений и т. д. - позволяет решать различные экономические зада- чи, а следовательно, является неотъемлемой частью подготовки студентов экономического профиля технического вуза. Кроме этого, если студент будет знать, что тот или иной математический аппарат полезен при решении про- фессиональных задач, можно ожидать изменения его отношения к изучению курса высшей математики как предмета, и вследствие этого возрастет каче- ство выполняемой работы как в аудитории, так и при самостоятельных заня- тиях студентов [3].