Professionally oriented aspect of studying the branch "linear algebra" in training economic profile specialists

Abstract

The article shows the necessity of forming of mathematical competence of economic profile students in accordance with the qualification. Practical application of linear algebra elements for of economic problems solution is represented by the authors.

Full Text

Новые требования к выпускникам вузов влекут за собой изменения в системе образования: создаются новые государственные стандарты, изме- няются программы обучения, вводится понятие компетентности специалиста. Основной задачей инженерного образования становится формирование у сту- дентов не только определенных знаний, умений и навыков, но и особых ком- петенций, сфокусированных на способности применения этих знаний, уме- ний и навыков в будущей профессиональной деятельности [1]. Таким обра- зом, можно говорить о том, что требование профессиональной направленно- сти учебно-воспитательного процесса становится основополагающим для каждой преподаваемой в вузе учебной дисциплины. Математика - основа технического образования, и в практической деятельности инженера призва- на решать профессиональные задачи. Поэтому очевидно, что математическую подготовку в техническом университете следует направлять в русло форми- рования математической компетенции у студентов, и рационально делать это на профессионально ориентированных примерах. От качества математиче- ской подготовки в наибольшей степени зависит уровень сформированности профессиональной компетентности будущего специалиста [2]. А значит, ма- тематика должна преподаваться не как изолированная, обособленная дисци- плина, она должна быть содержательной относительно ее прикладной значи- мости и профессиональной направленности. Иными словами, содержание ма- тематической подготовки студентов должно быть сформировано в соответ- ствии с квалификацией будущего специалиста, в частности специалиста эко- номического профиля. Поэтому основная цель изучения курса высшей мате- матики в техническом университете - это подготовка пласта знаний для изу- чения в дальнейшем спецпредметов и решения профессиональных задач в соответствии с каждой отдельно взятой специальностью. Начиная с первых занятий необходима тесная дидактическая междисциплинарная связь. К со- жалению, стоит констатировать тот факт, что при имеющийся на кафедре значительной методической базе пока эта связь слаба и преемственности дисциплин практически не существует. А знания студентов, не закрепленные устойчивой мотивацией, связанной с их будущей профессиональной деятельно- стью, как правило, имеют плохую сохраняемость. Необходима убедительная де- монстрация «полезности» овладения учебным материалом на лекциях, практи- ческих, лабораторных занятиях, при самостоятельной работе студентов, а также в методических указаниях и учебных пособиях к этим занятиям [3]. Учитывая направление специальностей экономического профиля, можно утверждать, что задачей изучения раздела математики «линейная алгебра» является формирование у студентов соответствующих знаний, практических умений и навыков применения методов линейной алгебры и математического аппарата, связанного с ней, при решении практических задач. Изучение раз- дела «линейная алгебра» имеет чрезвычайное значение для студентов эконо- мических специальностей. Это связано с тем, что значительная часть матема- тических моделей экономических процессов и объектов, а также представле- ние различных совокупностей числовых данных записывается в достаточно компактной и простой матричной форме, что является эффективным, а глав- ное, удобным способом систематизации различной информации (например, это могут быть различные статистические расчеты, сведения об объеме про- изводимой продукции, затратах сырья, трудовых ресурсов, рабочего времени, производительности труда на различных объектах производства и т. д.). Кро- ме того, это позволяет упростить и облегчить процесс поиска того или иного решения поставленной задачи, делая основные выкладки и результаты ком- пактными, более наглядными и легко обозримыми. Например, рассмотрим соотношения между секторами экономики (табл. 1). Данная таблица может быть записана в виде матрицы: В ней, например, элемент показывает, сколько расходных ма- териалов потребляет химическая промышленность, элемент - сколько трудовых ресурсов необходимо деревообрабатывающей промыш- ленности, а элемент - сколько электроэнергии потребляет метал- лургия. Соотношения между секторами экономики Таблица 1 Показатель Химическаяпромышленность Металлургия Деревообрабатывающаяпромышленность Энергетическиересурсы 1500 1700 1800 Расходныематериалы 2000 3100 700 Трудовыересурсы 1500 1600 3000 Зачастую даже простейшие экономические задачи требуют от инженера- экономиста громоздких вычислений. Решение многих таких задач, связан- ных, например, с расчетами норм расхода или потребления сырья для какого- либо предприятия, объемов выпускаемой продукции за определенный отчет- ный период, расходов на транспортировку готовой продукции, с оптимизаци- ей перевозок и т. д., можно осуществить, используя математический аппарат линейной алгебры. Рассмотрим примеры экономических задач, при решении которых ис- пользуются элементы линейной алгебры. Пример 1. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей А= . Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В= . Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц третьего вида? [4] Решение. Чтобы определить стоимость сырья для производства единицы продукции каждого вида, следует умножить матрицу стоимости единицы сы- рья В на матрицу норм затрат сырья А: С = В · А = = . Пусть матрица D = задает объемы производства продукции, тогда суммарные затраты на производство продукции равны произведению матри- цы С на матрицу D: С · D = · = 35 · 100 + 55 · 200 + 90 · 150 = 28000. Ответ: 28000 усл. ед. Пример 2. Рассмотрим четырехсекторное описание экономики, в котором выделены две отрасли: сельское хозяйство и промышленность; один первич- ный фактор труда и государственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. Государственный сектор ничего не произ- водит для экономики, и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в других секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое количество продукции другой отрасли, а также труд. Рабочая сила нуждается в продукции обеих отраслей и наряду с этим в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно импортированы и экспортируемы. Таким образом, никогда не мо- жет быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в течение всего периода. Наблюдая за потоками продукции между четырьмя секторами эко- номики, составим таблицу «Затраты - выпуск» (табл. 2). Затраты - выпуск Таблица 2 Производственныйсектор Потребляющий сектор С/х Промышленность Трудовыересурсы Госсектор(конечный спрос) Всего Сельское хозяйство(с/х), т 500 300 1300 500 2600 Промышленность,число машин 800 700 600 900 3000 Трудовые ресурсы,число занятых 800 1600 600 600 3600 Сумма показателей в строках дает общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Сумма показателей по столбцам показывает за- траты данного сектора, необходимые для производства всего объема продук- ции, следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Например, первый столбец характеризует основной произ- водственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 2600 т продукции сельского хозяйства требуется 500 т сельскохозяйственной продукции, 800 машин и 800 работников. Определить валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом Y = . Решение. Пусть - валовый выпуск продукции i = 1, 2, 3; - конечный спрос на продукцию i, i = 1, 2, 3. Валовый выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс ко- нечный спрос на эту продукцию, т. е. , i , (1) где - количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. Предположим, что цены относительно стабильны и технология меняется медленно, тогда если государственный сектор предполагает потребить 1000 т продукции сельского хозяйства, 1200 машин и нанять 800 человек в следую- щем периоде, то определим, каковы должны быть трудовые ресурсы и уровни выпусков продукции в каждом производственном секторе. Нужно найти эле- менты матрицы X по заданным элементам матрицы Y. Перепишем уравнение (1) в матричном виде: X - AX=Y, или (E - A)X=Y, (2) где X, Y - матрицы-столбцы, A - матрица коэффициентов прямых затрат; все элементы неотрицательны. Чтобы найти матрицу X, умножим обе части уравнения (2) на обратную матрицу (E - A)-1 слева. Тогда получим: X = (E - A)-1Y. Таким образом, для того чтобы найти валовый выпуск продукции, необ- ходимо найти обратную матрицу (E - A)-1, предварительно определив эле- менты матрицы A, воспользовавшись предположением о пропорционально- сти зависимости между затратами и объемами производства, т. е. линейными однородными функциями производственных затрат: . Тогда , и элементы A равны Элементы матрицы A удовлетворяют условиям: норма матрицы = Значит, матрица A является продуктивной и для нее выполняется теорема Фробениуса - Перрона: «Все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы, а наибольшее собственное значение положительно» [5]. Элементы матрицы (E - A) равны Вычислим определитель матрицы (E - A): Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы (E - A): и так далее. Составим присоединенную матрицу C из алгебраических дополнений, причем алгебраические дополнения строк запишем в столбцы: Умножая матрицу C на множитель, равный обратной величине определи- теля ∆, получаем обратную матрицу: Уровень производства сельского хозяйства и промышленности, необхо- димой численности работников определим, вычислив произведение матрицы на матрицу Y= Ответ: таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести 6056 т продукции сельского хозяйства, 5452 машин и нанять примерно 6690 работников [4]. Пример 3. Найти расчетные объемы работ (число часов использования оборудования), которые окупят затраты на эксплуатацию. Расценки на прове- дение соответствующих работ указаны в табл. 3. Расценки на проведение работ Таблица 3 Виды работ Нормативы по видам оборудования (число часов) Полные затратына эксплуатацию Механическое Тепловое Энергетическое Техническоеобслуживание 3 1 4 85 Текущие услуги 2 2 3 82 Капитальныйремонт 10 20 15 580 Решение. Пусть - количество часов использования механического оборудования, - теплового, - энергетического. Тогда в соответствии с расценками на проведение соответствующих работ запишем систему: Составим расширенную матрицу полученной системы уравнений, решим ее методом Гаусса: Получим систему, равносильную данной: Находим Ответ: таким образом, для того чтобы окупились затраты на эксплуата- цию при данных расценках, необходимо 12 ч для механического оборудова- ния, 17 ч для теплового и 8 ч для энергетического. Итак, приведенные примеры показывают, что знание элементов линейной алгебры - умение оперировать матрицами, выполнять различные действия с ними, рассматривать и находить обратные матрицы, вычислять как вспомога- тельное средство определители, решать различными способами системы линейных уравнений и т. д. - позволяет решать различные экономические зада- чи, а следовательно, является неотъемлемой частью подготовки студентов экономического профиля технического вуза. Кроме этого, если студент будет знать, что тот или иной математический аппарат полезен при решении про- фессиональных задач, можно ожидать изменения его отношения к изучению курса высшей математики как предмета, и вследствие этого возрастет каче- ство выполняемой работы как в аудитории, так и при самостоятельных заня- тиях студентов [3].